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IV. La curva doppia C, qui coincide ( l ) con la Jacobiana della rete 

 [9>'] = [Pn+i], • Perciò essa è dell'ordine v = 3n ed ha un punto 



(3r; — l)-plo in v; e uno doppio in ciascuno dei punti u. 

 Y. // genere della curva doppia e della curva limite è p = 8n — 10 — f. 



(T. M; VI). 



« In questa trasformazione reciproca mancano evidentemente le curve U 

 e IT (T. M; VII, Vili). 



« Dal teorema (T. M; VI), ricordando che in una rete di curve ve ne sono 

 24jj dotate di una cuspide (Caporali, Sopra i sistemi triplamente infiniti di 

 curve algebriche) ( 2 ), si ricava il numero delle cuspidi della curva limite, cioè 

 k = 24;;. Ora conoscendosi la classe, il genere e il numero dei punti cuspi- 

 dali della curva limite C\ se ne possono calcolare le altre caratteristiche, 

 cioè l'ordine nei numeri ó, i, t dei punti doppi, delle tangenti stazionarie 

 e delle tangenti doppie; si trova così: 



n = Q tl -\-f— 3 

 "7 =18« — 3/— 27 



ó = n [1 Su + 6/ - 59] + 1 f (f - 7) + 44 

 r = 4 [2w 0 — 6) + / + 13] . 



« Meno il valore di ó, questi valori coincidono con quelli dati dal 

 dott. Gruccia in un suo studio delle curve isologiche ( 3 ). Alle varie proprietà 

 della curva 0 indicate dal Guccia (1. c.) si può ora aggiungere quella di 

 coincidere con la curva limite C x della nostra trasformazione multipla {(2<7x)) n . 



VI. A una retta arbitraria del piano Oi è congiunta una curva C N dell'or- 



dine n (n -f- 2), la quale passa con n — 1 rami per ciascuno degli n 

 punti a quella associati. — L'ordine della trasformazione ({fi)), 

 congiunta alla ((.2gì)) h , è espresso da N = n(n-}-2). — (T. M; IV). 



VII. Sono fondamentali per la trasformazione congiunta ((^i)) i punti u 

 • e i punti v;; i loro gradi di moltiplicità sono rispettivamente n-j-1 



e (n-j- l.)ri; le loro curve congiunte j dell'ordine n-f-1 e (n — f- 1) ri 

 rispettivamente, sono le linee fondamentali della trasformazione con- 

 giunta. 



« Alla Giura limite O corrisponde in o x una linea dell'ordine M. I, che 

 si compone della curva doppia C v , e della sua congiunta C, ; cosicché se x 

 indica l'ordine di quest'ultima si avrà (n-\- 1) A = v -\-x . E sostituendo i 



(1) (T. M ; V). 



( 2 ) Collectanea Mathematica, Milano 1881. 



( 3 ) Comptes Kendus (Paris, 2 nov. 1885), Sur les trans formations Cremona dans le 

 pian. Questo lavoro fu riprodotto nella Nota, Teoremi sulle trasformazioni Cremoniane nel 

 piano, pubblicata dal dott. Guccia nei Rendiconti del Circolo matematico di Palermo 1. 1* 

 pag. 56 e t. I 3 pag. 119. 



