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La curva limile è della 4 a classe e del genere 3 ; la curva doppia è del 

 6° ordine e dello stesso genere ed ha 7 punti doppi (a 2 b 2 e 2 u 2 ... u 2 ). 



« La {{2gi)) ì è del minimo ordine. Le trasformazioni piane doppie di 

 genere p = 1 possono tutte ridursi a quest' una ; e viceversa da questa si 

 possono ricavare tutte le altre mediante trasformazioni birazionali. Con 

 questo metodo si trovano alcune trasformazioni doppie di genere 1 che man- 

 cano nella tabella di De Paolis (1. c. § 6) ; ad esempio, usando la stessa nota- 

 zione ivi adoperata, le tre seguenti di ordine 10 e genere 1 : 



N = 



70 ; 4 2 , 15 



13,23 



34,28 



ls,33 



I02 



1 05 



N — 



74; l ljl0 



1-2,16 



43,23 



24,29 



1-5,36 



1(13 lo4 



N = 



82 ; 3i, 10 



l2,n 



23,25 



34,33 



ls,40 



2q2 1()3 



le quali provengono dalla ((2' ai)) 2 mediante opportune trasformazinni cremo- 

 niane degli ordini 7, 7 e 5 rispettivamente. 



a Per n = 3 si ha : Alla trasformazione bir azionale del 3° ordine 



(^i c 2 ) 3 è associata la trasformazione tripla di 4° ordine e genere 2, ((2d)) 3 . 

 Nel piano triplo 2 non vi sono elementi fondamentali; nel piano semplice Ci 

 vi sono nove punti fondamentali semplici e uno doppio, cioè a 2 b c d eu y u 2 ... u 5 , 

 se UiU 2 ...u 5 sono i punti uniti ed a 2 bcde i punti fondamentali {doppio il 

 primo, semplici gli altri] del piano c x nella trasformazione T 3 . Ecc. ecc. 

 La ((.2'(7 1 )) 3 è dell'ordine minimo. 



a Per 11 — 4 vi sono (v. Cremona, t. V, ser. 2 a , Mem. Acc. Bologna) due 

 trasformazioni birazionali T 4 cioè : 



a) la trasformazione De Jonquières T 4 a = (a 3 b x b 2 ... b 6 ); 

 §) la T 4 P sp ( Gl 2 a 2 2 a 3 2 h h h). 

 « [Con la segnatura (a r bi s b 2 s ..c l c 2 ..c i ...d 2 e 3 ....) indico in generale che 

 a, bi, b 2 , .. Ci , c 2 , .. Ci , .. ci, e, ... sono punti (del piano a x ) fondamentali del 

 grado r, s, s, .. 1, 1, ... 1, ... 2, 3, ... rispettivamente perla trasformazione bira- 

 zionale 0 multipla che si considera ; e dinoto sempre con ù\ , u 2 , u n + 2 i 

 punti uniti della T n = (71 o 2 )ff\. 



« Alla T 4 a è associata la trasformazione quadrupla ((2 cr 1 )) 4 a dell'or- 

 dine M = 5 e del genere p === 3, avente in a x i tredici punti fondamentali 

 a 3 b 1 b 2 ..b 6 u 1 tc 2 ...u 6 . Essa è del minimo ordine (T. M; XI). 



"Alla è associata la trasformazione quadrupla ((2 cr 1 )) 4 l 3j dell'or- 

 dine M = 5 e del genere p = 3, avente in a x i dodici punti fondamentali 

 .ai 2 a 2 a 2 bi b 2 b 3 u x u 2 ... u 6 . Questa è riducibile, mediante una trasforma- 

 zione quadratica (<7j 'j'i) 2 =(a 1 a 2 a 3 ; a 1 a 2 ce 3 ) (!), ad un'altra trasformazione 



(') ffi «2 CI3 e «1 « 2 «3 sono i punti fondamentali di a x e di a\ per questa trasforma- 

 zione quadratica; con b\ , b\, b' 3 , ... u\ , ... u' e indicherò gli omologhi in <s\ dei punti 

 b\,b 2 ,l 3 , ■■ Ui , .. u s . 



