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essendo f omog. funzione del punto P, è 



-, d grad a 

 [12] t-J. L_ 



ove a è una omog. arbitraria funzione di P ( 1 ). 



La soluzione [12] soddisfa certo alla [11] perchè la [10], in virtù 

 della (b), assume la forma 



. ( . d grad a ) 

 gradua- -^j = 0; 



resta quindi da provare che: ogni soluzione della [11] ha la forma [12]. 

 Se a è vettore costante, arbitrario, si ha (0. v., n. 24, [10]) 



aXgrad J = div(K£a) ( 2 ), 

 e quindi la [11] equivale a 

 [11'] div(K£a) = 0, 



per a vettore costante arbitrario. 



La [11'] esprime anche che K£a deve essere la rotazione di un vet- 

 tore ( 3 ). Inoltre: affinchè la [11'] sia vera per a qualunque basta che sia 

 verificata per i tre vettori i , j , k di una terna ortogonale unitaria costante. 

 Dunque: resterà dimostrato che la [12] è soluzione generale della [11], 

 quando si potrà provare che: /issati ad arbitrio i vettori u,v,W, fun- 

 zioni di P, e la terna unitaria ecc. costante i , j , k esiste almeno una 



(*) Ciò prova l'importanza del gradiente di una omografia e delle derivate rispetto 

 ad un punto, elementi che non possono esser considerati con i sistemi di Hamilton, Gibbs 

 e con i tensori dei tedeschi, mancando il concetto assoluto di omografia generale. Per a 

 numero, f è una dilatazione, e dalla (12) si ottengono, in tale caso particolare, formule 

 già note. 



( a ) E sotto questa forma che, recentemente, il prof. T. Boggio ha data la importante 

 def. assoluta di grad «, def. che era stata data in 0. v. mediante una terna ortogonale 

 (Sul gradiente di una omog. vettoriale, Eend. Acc. Lincei, voi. XIX, ser. 5 a , 2° sem. 

 1910). In generale, per u vettore funzione di P si ha: 



n X grad « = L —z— - (K«) — . 



( 3 ) Cfr. ad es. Eléments de Calcul Vectoriel, A. Hermann, Paris, 1910 (Chap. II) 

 di C. Burali-Forti e E. Marcolongo. 



