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K{Ja) i 



— K 



K(^«)j 



— K 



K(Ja) k 



-K 



omog. a tale che 



d grad a . , 



V 1 = rotu 



[13] { -fX^J -n*T 



^P 



Alla omog. generale « si può dare la forma 

 [14] « = H(x,i) + H(y,j) + H(z,k) 



con x^Kai. ecc. Allora dalle formule del n. 1 si ha subito {0. v., 

 n. 23, [11]) 



K(^«) = H(i,^'x) + - + - 



dgrzàa = d . v x) + + 



aP 



dalle quali ((9. n. 24, ultima delle [17]) 



[15] K{Ja) - K = - H(i , rot tot x) 



In conseguenza la relazione tra i vettori u , ... e i vettori x , ... che, 

 per la [14], determinano a , è espressa, in virtù delle [13], dalle formule 

 rot(rotx + u) = 0 , rot (rot y + v) = 0 , rot (rot z + w) = 0 ; 



ma da queste risulta {Méments..., loc. cit.) che devono esistere i numeri 

 m,n,p, funzioni di P, in guisa che 



[16] rotx + u = gradm , rot y + v = grad » , rot z + w = grad^ . 



Per un noto teorema di Clebsch ( 2 ), dati u , v , w esistono effettiva- 

 mente x , ... m, ... soddisfacenti alle [16]. Dunque è possibile determinare « 

 con le condizioni [13] e quindi la [12] è soluzione generale della [11]. 



3. Se la £ della [11] deve essere una dilatazione, V£ = 0 (il suo 

 determinante è simmetrico), allora la a della [12] non è più arbitraria, 



(>) Da queste formule risulta, per f dato dalla [12J, 



!,£ = (rot u) X i + (rot V) X j + (rot w) X k 

 2V| = (rot u) A i + (rot ▼) A ì + ( rot w )A k ' 



(*, Una dimostrazione assoluta, semplice e completa di questo teorema, si trova 

 nella recente Nota del prof. Burgatti, Risoluzione di alcuni problemi relativi ai campi 

 vettoriali (Acc. Se. Ist. Bologna, 1910). 



