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ma, per la [4], deve soddisfare alla condizione 



d grad a 



[17] J'(Va) = Y 



La determinazione effettiva della a si fa (n. 2) mediante i vettori 

 u , v , w arbitrari nel caso generale. 



Se deve esser vera la [17], cioè £ esser dilatazione j allora i vettori 

 u , v , w devono soddisfare alla condizione 



[18] iArotu+j Arotv + kArotk = 0. 



Infatti. Per formule ben note si ha 



2V« = x A i + - + - , d ^ a = H(grad div x , i) -f •;• + - 

 e in conseguenza 



2/(V«) = (/x)AiH h - 



2V = (grad div x) A i + - + - ; 



la [17] sarà dunque vera solamente quando (0. v., n. 24, [17]) 



(rotrotx) AH (-- = 0 



che (n. 2) coincide con la [18]. 



4. È facile ottenere una soluzione particolare £ 0 della equazione 



[19] grad£ = f. 



Invero. Si determini (teorema di Clebsch già citato) un numero m e 

 un vettore u tali che 



[20] f = grad m + rot u ; 



basta poi porre 



[21] £ 0 = m — u A 



perchè si abbia (0. v., n. 24, [15]) dalla [20] 



grad f 0 — gi'ad m — grad (u A) — grad m -j- rot u = f . 



Osservando allora che da 



grad £ — grad ? 0 



risulta grad (£ — 1 0 ) — 0 si ha : 



