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coli' osservare che si ha 



w , S xH = 0 , sx^ = o, 



risultano subito le (I). 



Variando le (a), otteniamo poi 



(6) rfX = -*V(*,«) , <rY = — «Vfo,») , JZ«-«V(*.»)» 

 ed in fine, variando le (/?) coli' osservare le identità: 



S- r ' Dm ^ 



~ÒU ~ÒU 



„ Da; W(g , n) _ 



S • = «22 1 



~òv ~òv 



ne risultano le forinole (11) o (II*)- 



2. Le formale di Weingarten in termini finiti per le ipersuperficie. 



Nello spazio S m+1 ad m + 1 dimensioni a curvatura nulla (euclideo), 

 o più in generale a curvatura Kiemanniana costante c, si consideri una 

 qualunque serie di ipersuperficie V., e le curve C loro trajettone orto- 

 gonali. Riferiamo lo spazio ad un sistema di coordinate curvilinee 



X 0 , Xi , X% , ... , X m , 



per le quali le ipersuperficie ^ 0 -cost siano le Y m date, e le curve (*,), 

 lungo le quali varia il solo parametro x 0 , siano le curve C trajettone orto- 

 gonali delle V w . L'elemento lineare ds dello spazio prenderà la forma 



i..»m 



(7 \ ds 2 = n % dx\ -f X aik dXi dXh ' 



dove i coefficienti » , a ih sono funzioni di tutte le variabili a> 0 ,a>i,*» »•».»«. 

 Indichiamo inoltre con 



i...m 



y Sì iìt dxi dx-n 



i,Tt 



la seconda forma quadratica fondamentale delle ipersuperficie V m (v. le mie 

 Lesioni di geometria differenziale, voi. I, § 164). 



