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infinitesimale ed esprimono, associate alle equazioni di Codazzi e di Gauss, 

 le condizioni necessarie e sufficienti perchè il ds 2 dato dalla (8) appartenga 

 allo spazio ad m+1 dimensioni di curvatura Riemanniana costante e . 

 Osserviamo che se si pone 



A = 



#11 &i2 ... &\m 



#21 #22 ••• #2 m 



#»u #»?2 ••• ttmm 



e si deriva logaritmicamente rapporto ad x 0ì si deduce per le (A) 



~ò log 



= J I A ih = — n Y A ih Sii 



l ...m 



Ma indicando con ~- , ^- , ... ~ le curvature principali della ipersu- 

 perficie V TO , prese con segno conveniente, si ha (Lesioni, voi. I, § 168) 



l ...m 



indi la forinola 

 (11) 



1.1. ,1 



D^o "(il, + R 2 ^ ^R m ) 



Ora l'elemento d'ipervolume della V m è dato da 



e dalla forinola (11) segue: Condizione necessaria e sufficiente perchè le 

 traiettorie ortogonali delle ipersuperficie V m segnino sopra di queste una 

 corrispondenza che conservi gli ipervolumi è che le ipersuperficie V m abbiano 

 nulla la curvatura media (ipersuperficie minime). Il caso m = 2 delle ordi- 

 narie superficie minime è ben noto 



3. Applicazioni alle famiglie di Lamé. 



Ritorniamo al caso dell'ordinario spazio S 3 euclideo, facendo m = 2, 

 c = 0, e scrivendo u,v,w al posto di x x , se* , x 0 , poniamo nelle consuete 

 notazioni 



a u =E , #i 2 =P , a 22 =G , 



J2 n = D ,. i2 12 = D' , S2 n = V" . 



( l ) Cfr. Schwarz. Ueber ein die Flàchen kleinsten Flàcheninhaltes betreffendes 

 Problem der Variationsrechnung ; v. anche Lezioni, voi. II, pag. 578. 



