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L'elemento lineare dello spazio prenderà la forma 

 (12) ds* = E du 2 + 2 Fdu dv + G dv- + ra 2 dw 2 , 



e le forinole (A) , (B) diventeranno 



(m) ^ = _2nD , ^ = -2nD> , ^ = -2rcD", 

 {LL ' ~ùw ^ 



(IV) 



^ = n n + (KE + HD) ? z , ^ = Wl2 + (KF+HD>, 



:» t2 + (KG + HD")«, 



dove H e K hanno il solito significato di curvatura media e totale, secondo 

 le formole (3), (4). Le (III) e (IV) ci danno le derivate dei coefficienti 

 E , F , G ; D , D\ D" nel senso della normale, ed associate alla equazione 

 di Gauss e alle due di Codazzi, dànno le condizioni necessarie e sufficienti 

 perchè l'elemento lineare (12) appartenga allo spazio ordinario. 

 Dalle (III) e (IV) deduciamo ancora le tre seguenti 



( 13) J_io g (EG-F') = 2rcH 



(14) ^ = (2K — W)n — t\%n 



( 15 ) i w — EG-F 2 



l' ultima delle quali si può anche scrivere sotto la forma 



lK = 1 D l>u yo\ , i l ffpf «- fi) 



j/EG — F 2 ( ^ |/EG — F 2 ■' Dv\t/EG — F 2 H 



Osserviamo subito alcune conseguenze delle formole (III), (IV) che 

 confermano risultati ben noti. 



1°) Suppongasi che il sistema (u,v,w) sia triplo ortogonale. Essendo 

 F — 0, la media delle (III), dimostra che anche D' è costantemente nullo, 

 cioè sulle w = cost le linee u , v sono quelle di curvatura ; dunque : in ogni 

 sistema triplo ortogonale le superficie dei tre sistemi si intersecano lungo 

 le loro linee di curvatura (teorema di Dupin). 



2°) Suppongasi che sulle superficie w = cost le linee v = cost siano 

 linee di curvatura, si supponga cioè che i due sistemi di superficie v = cost, 



O È interessante qui l'osservazione, già fatta dal Weingarten, che nel caso di K 

 costante l'equazione che segue per » dalla (15) coincide con quella per la funzione ca- 

 ratteristica cp delle deformazioni infinitesime {Lezioni, voi. II, pag. 7). 



