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w == cost si taglino ortogonalmente lungo linee di curvatura. Poiché sulle 

 w = cost l'equazione differenziale delle linee di curvatura è 



(16) (ED' — PD) du> + (ED" - GD) du dv + (FD" — GD') dv' = 0, 



la nostra ipotesi equivale a supporre 



ED' — PD = 0, 



onde per le due prime (III) si ha 



E ~òw ~ F ~òw ' 



. P 



indi — indipendente da w. L'equazione differenziale delle linee di curvatura 

 del secondo sistema 



mu + Fdv = 0 



essendo dunque indipendente da w, anche queste linee si corrispondono sulle 

 w = cost nella corrispondenza segnata dalle curve C loro trajettorie ortogo- 

 nali. Ne risulta il teorema inverso di Dupin (Darboux): 



Se due sistemi di superficie si tagliano ortogonalmente lungo linee di 

 curvatura, esiste un terzo sistema ortogonale ad ambedue. 



3°) Cerchiamo ora di esprimere la condizione perchè le superficie 

 w = cost costituiscano una famiglia di Lamé (appartengano ad un sistema 

 triplo ortogonale). Occorre e basta per ciò che nella equazione differenziale 

 (16) delle linee di curvatura i rapporti dei tre coefficienti 



ED' — FD , ED" — GD , FD" — GD' 



siano indipendenti da w, ossia che questi tre binomi siano proporzionali 

 alle loro tre derivate rapporto a w. Ma dalle forinole (III), (IV) di Wein- 

 garten abbiamo 



Ew 12 — F«„ + Hn(ED' — FD) 

 Ew 22 — G* u \ Hw(ED" — GD) 

 F% 2 — Gn 12 + Hn(FD" — GD') , 



onde il sussistere di quelle proporzioni equivale all'annullarsi del determi- 

 nante 



Un n 12 n 22 



E F G • 



D D' D" 



7) 



~òw 



lllO 

 ~ÒW 



(ED' 

 (ED" 

 (FD" 



FD) 

 GD) 

 GD') 



Rendiconti. 1911, Voi. XX. 1° Sem. 



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