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Ne concludiamo: Affinchè una serie co 1 di superficie formi una famiglia 

 di Lamé è necessario e sufficiente che la distanza normale infinitesima en 

 fra due superficie della serie soddisfi all'equazione del Cayley {Lezioni, 

 voi. II, pag. 480) 



»ii n ì2 n 2i 

 E F G - - 

 D D' D" 



4. Reti deformabili di curve rigide. 



Sopra una qualunque superficie S immaginiamo distesa una rete di 

 curve, cioè un doppio sistema di curve (u , v) tale che da ogni punto di S , 

 o di una sua regione convenientemente limitata, esca una curva di ciascuno 

 dei due sistemi. Supponiamo di più che le curve (u v) siano individual- 

 mente rigide ed articolate ai loro punti d' incrociamento. Può darsi, ciò non 

 ostante, che la rete sia deformabile e possiamo proporci il problema di tro- 

 vare tutte le reti deformabili di curve rigide. Qui risolveremo dapprima, 

 come applicazione delle formole di Weingarten, il problema nel caso parti- 

 colare che la deformazione continua della rete avvenga per modo che ciascun 

 punto del reticolo si muova normalmente alla superficie sostegno. Si vedrà 

 che allora la rete consta necessariamente del doppio sistema di generatrici 

 di una quadrica variabile in un sistema omofocale. 



A sistema triplo coordinato [u , v , w) prendiamo le oo 1 configurazioni 

 w — cost della superficie S sostegno, e prendiamo poi a superficie u = cost , 

 v = cost quelle descritte dalle singole linee della rete. Le traiettorie (w) 

 descritte dai punti di S essendo per ipotesi normali alla S, l'elemento li- 

 neare avrà la forma (12). Ma le curve {u) , {v) della rete rimangono per 

 ipotesi rigide e in particolare inestendibili, quindi si ha 



2* = o , ^ = o 



e per le (III) di Weingarten 



D = 0 , D" = 0 ; 



dunque intanto : sopra ogni superficie S o w = cost la rete {u , v) sarà 

 quella delle asintotiche 



Si osservi che questo primo risultato vale più in generale per le reti 

 di curve flessibili ed inestendibili, supposte deformabili in guisa che ogni 



O Lo stesso si deduce dalla semplice considerazione geometrica seguente. Sulla 

 superficie descritta da una linea (a) o (i>) della rete le traiettorie ortogonali (w) di queste 

 linee staccano archi eguali, e perciò le linee stesse sono geodetiche della superficie ge- 

 nerata, indi asintotiche delle w = cost, che tagliano le prime superficie ortogonalmente. 



