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punto si muova normalmente alla superficie sostegno. La ricerca generale 

 di queste ultime reti equivale dunque al problema di: trovare la serie oo 1 

 di superficie sulle quali la corrispondenza segnala dalle curve traiettorie 

 ortogonali conserva le linee asintotiche. 



Si sa che una tale serie oo 1 di superficie è necessariamente una famiglia 

 di Lamé {Lezioni, voi. II, pag. 508); si sa ancora che tutte le famiglie 

 di Lamé costituite da superficie pseudosferiche, di raggio costante o varia- 

 bile, dànno altrettante soluzioni del problema. Un'altra soluzione isolata si 

 ha nei sistemi omofocali di quadriche rigate ; ma il problema generale sopra 

 enunciato rimane ancora da risolversi. 



5. Reti delle generatrici di quadriche omofocali. 



Kitorniamo al nostro speciale problema, nel quale le linee (u , v) della 

 rete sono supposte non soltanto inestendibili ma assolutamente rigide, e di- 

 mostriamo che esse sono necessariamente linee rette. 



Si è già visto che queste linee (u , v) sono le asintotiche della super- 

 ficie S sostegno della rete, onde indicando con ^ la loro torsione sarà, pel 

 teorema di Enneper, 



Per dimostrare l'asserzione superiore faremo vedere che dall'ipotesi 

 contraria nascerebbe un assurdo. Supponiamo dunque che uno almeno dei 

 due sistemi (u , v) non sia rettilineo, per es. le (u) siano effettive curve. 



Poiché ciascuna di esse si muove rigidamente, sarà ^ indipendente da w, 

 e perciò anche 



(17) ^ = 0. 



1)10 



Essendo D = 0 , D" = 0, le forinole (IV) di Weingarten dànno 

 w u -f-KEw = 0 , « 12 + KGw = 0. 



Inoltre la (17), osservando la (15) e la (3), ci dà anche 



n 12 -\-KFn = Q; 



dunque la funzione n deve soddisfare il sistema simultaneo 



(18) n u + KEn = 0 , n 12 + KFn = 0 , % 2 + KG» = 0. 



(') A questo punto noi intendiamo escluso il caso che le superficie S siano piane. 

 In tal caso infatti le trajettorie ortogonali dei piani segnerebbero sopra di essi figure 

 eguali e la rete non subirebbe deformazione. 



