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essa è generata da due curve arbitrarie nel piano, che si muovono di moto 

 traslatorio l'ima lungo l'altra. Siccome poi, aumentando co (U o V) di una 

 costante, le curve della rete, a causa delle (24) o (25), restano rigide, ve- 

 diamo che le reti piane di Tchebychef sono effettivamente deformabili nel 

 modo voluto. Abbiamo così stabilito il teorema : Le reti piane deformabili 

 di curve rigide sono tutte e sole le reti di Tchebychef. In particolare, fra 

 i reticolati piani di rette solo quelli parallelogrammici sono deformabili 

 nel piano. 



Qui è ancora opportuno osservare che se la curvatura dell'elemento li- 

 neare (21), anziché nulla, si suppone solo costante — k ( L )> si vede subito 

 che la rete (u , v) non può essere deformabile quando k =}= 0 . Nel piano 

 della geometria ellittica od iperbolica non esistono dunque reti deformabili 

 di curve rigide; nel caso parabolico (euclideo) è all'esistenza del gruppo 

 delle traslazioni che si collega l'esistenza delle reti deformabili di Tcheby- 

 chef. Coll'osservazione precedente è anche risoluta negativamente la questione 

 se possano esistere sulla sfera reti di curve rigide deformabili, restando 

 sulla sfera. 



7. Nuovo caso di reti deformabili. 



Le forinole 



(26) x = x(u , v , w) , y = y(u,v ,w) , * = z{u , v , w) 



definiscono nello spazio, per ogni valore dato al parametro w, una superficie, 

 e su questa una rete (u , v) di curve. Supponiamo che, al variare di w, le 

 curve della rete si muovano, ciascuna per sè, rigidamente. Occorre e basta 

 perciò che gli incrementi 



~òx . ~òy , ~àz , 



— die , —dio , — duo 

 ~òw ~òW lìW 



delle coordinate, ove si tenga u costante, oppure v costante, si esprimano 

 per x , y , s colle formole di un movimento rigido infinitesimo. Dovranno 



( x ) Ma vi ha di più. Se si suppone soltanto die sia k funzione fìssa di u , v e me- 

 desimamente — , —, il calcolo stesso dimostra che deve essere k = 0, e si ricade nelle 

 Qu Qv 



reti piane di Tchebychef. In particolare si deduce di qui: Le reti deformabili di curve 

 rigide, che rimangano sempre asintotiche della superficie sostegno, sono unicamente le 

 reti piane di Tchebychef e il doppio sistema di generatrici di una quadrica. Se si 

 confronta questo risultato coll'osservazione della nota al n. 4, si ha una nuova e più 

 semplice dimostrazione (indipendente dalle formole di Weingarten) del teorema finale 

 del n. 5. 



Rendiconti. 1911, Voi. XX, 1° Sem. !•? 



