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Affinchè l' integrale (10) abbia un valore indipendente da A 2 ?, è necessario 

 e sufficiente che sia nei punti di t : W — Wi ; e quindi che si abbia : 



(nei punti di t) 0 = A 4 W = A 2 U . 



Questo risultato e quello generale del § 4 ci dànno: condizione neces- 

 saria e sufficiente affinchè l'integrale 



(7)' jtpdx 



sia invariante rispetto a A 2 q , è che la funzione U sia armonica. 



Caso in cui, oltre all'azione esterna, sono dati in superficie 

 i valori della densità e quelli della sua derivata normale. 



7. Indicando con Gc 4 (x,y,z ; £,??,£) (') la funzione di Green del 

 4° ordine, si può scrivere, come è noto, per una qualsiasi funzione Y(x , y , z) 

 finita e continua nel campo x insieme alle sue derivate dei primi otto 

 ordini ( 2 ): 



V(aj,y,*} = — Jg 4 .A 8 V. dt + 



Questa nel caso in cui Y(x,y,z) sia la funzione potenziale (1) ci dà: 

 (11) Y(x ,y,z) = — |g 4 .A 6 ?^ + 



1 Js \ dn dn 1 dn dn) 



Di qui risulta che, data ad arbitrio U azione esterna di una distri- 

 buzione fatta in % e dati pure ad arbitrio i valori della densità q e della 



sua derivata normale ~ nei punti della superficie S, la funzione V(x,y,z), 



determinata dalla formola (11), è la funzione potenziale di una distribu- 

 zione in v , della quale l'azione esterna, la densità nei punti di S e la 



(') Essendo stato dimostrato il teorema di esistenza per le funzioni poliamomene 

 in condizioni molto generali, sia riguardo alla superficie contorno, sia ancora riguardo 

 ai valori al contorno [v. Lauricella, Sull'equazione A**V = 0 e su alcune estensioni delle 

 equazioni dell'equilibrio, ecc. (Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici, 

 voi. Ili, pag. 33)] , ne risulta dimostrata l'esistenza in generale della funzione di Green 

 di ordine qualsiasi. 



( 8 ) Boggio, loc. cit. 



