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Meccanica. — Determinazione dell' equazioni di Hamilton- 

 Jaeobi integrabili mediante la separazione delle variabili. Nota 

 di Pietro Burgatti, presentata dal Socio T. Levi-Civita. 



1. Liouville fu il primo (nel 1846) a cercare l'equazioni di Hamilton- 

 Jacobi, corrispondenti ai problemi della meccanica con due gradi di libertà, 

 integrabili mediante semplici quadrature. Egli ne trovò una di una forma 

 molto importante, che si trova ora studiata nei migliori trattati di mecca- 

 nica e di geometria differenziale. 



Quarantacinque anni dopo il prof. Stàckel ( L ) pose il problema nei ter- 

 mini precisi e generali scritti nel titolo di questa Nota, e trovò, per le n 

 variabili, un caso d' integrabilità, che è l' immediata generalizzazione di quello 

 del Liouville. Qualche hanno prima, studiando l'equazioni con due sole va- 

 riabili indipendenti, egli aveva risoluto interamente il problema, determi- 

 nando due nuovi casi d' integrabilità, oltre a quello del Liouville, e mostrando 

 che non ne esistono altri. 



Più tardi, nel 1904, il prof. Levi-Civita ( 2 ) determinò tutte le condi- 

 zioni necessarie e sufficienti, affinchè un'equazione di Hamilton- Jacobi sia 

 integrabile per separazione delle variabili ; lo studio delle quali condurrebbe 

 senza dubbio alla soluzione completa del problema, vinta che fosse la ripu- 

 gnanza alla fatica di calcoli assai lunghi e laboriosi. 



Applicando il metodo in certe ipotesi restrittive, egli pervenne con una 

 elegante analisi a un nuovo caso d'integrabilità, che è la generalizzazione 

 alle n variabili di uno dei casi trovati dallo Stàckel per due variabili. 



Poco dopo, nel 1906, il prof. Dall'Acqua ( 3 ) riuscì con opportuni artifizi 

 a fare uno studio esauriente dell'equazioni del Levi-Civita, ora ricordate, 

 per il caso delle tre variabili, e trovò quattro espressioni per l'energia cine- 

 tica; le sole che dian luogo a equazioni di Hamilton-Jacobi integrabili me- 

 diante la separazione delle variabili. 



In questo scritto io ho ripreso il problema in tutta la sua generalità ; 

 e, abbandonati i metodi finora usati, guidato più dall'intuizione che da una 

 logica rigorosa, son pervenuto alla determinazione di n -J- 1 equazioni di 

 Hamilton-Jacobi integrabili mediante la separazione delle variabili. 



Resterebbe da dimostrare che quell'equazioni sono le sole rispondenti al 

 problema : sulla qual cosa io non ho dubbio alcuno ; ma non ne ho trovato 

 finora una dimostrazione soddisfacente. 



0 Habilitationsschrift, Halle 1891, Math. Ann., Bd. XLII, pag. 537. 



( 3 ) Sulla integrazione dell'equazione di Hamilton-Jacobi ecc. Math. Ann., Bd. 59. 



( 3 ) Sulla integrazione dell'equazione di Hamilton-Jacobi ecc. Math. Ann., Bd. 66. 



