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2. Sia 



(1) 



r,s=l àq s 



un'equazione di Hamilton- Jacobi, ove il primo membro rappresenta una 



forma quadratica omogenea nelle 



21 



~òq> 



con coefficienti dipendenti dalla q, 



e h una costante. Ammettiamo che abbia un integrale completo della forma 



n 



(2) V = ^_ <fi(qi , «i « 2 ... « n _! lì) ; 



i=l 



il che si esprime dicendo che è integrabile mediante la separazione delle 

 variabili. 



In tale ipotesi è manifesto che la (1) deve essere il risultato dell'eli- 

 minazione delle « tra l'equazioni 



(3) 



ligi 



= <Pi'(qi , «i «2 ••• «K-i h) 



(« = 1,2,... »), 



che si deducono dalla (2) mediante derivazioni. D'altra parte, scritto un 

 sistema qualunque della forma (3), è chiaro che si dedurrà la V con qua- 

 drature; la quale sarà l'integrale completo di un'equazione del primo or- 

 dine, risultante dall'eliminazione delle a. Ma cotesta equazione non sarà in 

 massima del tipó (1), quadritica omogenea nelle derivate di V. Bisognerà 

 dunque cercare quei particolari sistemi (3), che, mediante l'eliminazione 

 delle «, portano a un'equazione della forma (1). 



La prima idea che viene in mente, per poco che si pensi alla questione 

 posta in quei termini, è di prendere i secondi membri delle (3) uguali alla 

 radice quadrata d'una espressione lineare rispetto alle costanti; ossia, di porre 



(3') 



—J = 2tjft(qt) -f <pn(qi) «i + <Piì{qi) «2 -\ h 



+ <fin-l{qì) «n+1 + (fin{qì)-2h 



L'eliminazione delle a porta subito all'equazione 



— ) — 2tyi(qi) — 2<pm(qi) h <Pn(qi) 5Pu(?0 • 

 aqi f 



y—j — 2xp 2 (q 2 ) — 2xp 2n (q 2 ) h g> n {q») g>u{qi) . 



(i = 1 , 2 , ... n) . 



9>!n-l(fl) 

 <J>2n-l{q2) 



T>YV 



2\p n {q n ) — 2ffnn(q n ) k SP„i(?n) <fnn-l{q n ) 



Rendiconti. 1911, Voi. XX, 1° Sem. 



= 0; 



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