— 110 — 



che è del tipo (1). Infatti, indicando con <P il determinante formato con 

 le (p rs , si ottiene con lo sviluppo 



È l'equazione trovata dallo Stàckel. Per n = 2, essa si riduce alla forma 

 di Liouville. 



3. Un altro sistema (3), che si presenta alla mente come atto a for- 

 nire equazioni del tipo (1), è il seguente: 



(2") ~ = (pn(qì) «i -f- <Ph{c[ì) a% -\ |- (fin-Mi) «n-i + <pin{qì) — ^ 



oQi 



per i = 1 , 2 , ... n ; 



ove è una forma quadratica omogenea nelle a a coefficienti costanti. 

 Per eliminare le a risolviamo il sistema rispetto a a x , « 2 , ... a„_! e 

 ; avremo, usando le notazioni precedenti, 



^«Jjv.il (,- = i, 2 ,...n-l) 



s=l "ì>5Psn "ÌJ^s 



Da quest' ultima si trae 



2/j; 



onde sostituendo in ti alle a le loro espressioni, si ottiene evidentemente 

 una equazione del tipo (1). 



Tale equazione, benché abbia una forma più generale in apparenza, 

 corrisponde in sostanza a quel caso di integrabilità trovato dal prof. Levi- 

 Givita, del quale ho parlato in principio. 



4. Il sistema (3") del paragrafo precedente suggerisce tosto l'idea di 

 prendere alcune equazioni lineari nella a e le rimanenti analoghe alla forma 

 (3"), nel modo che segue: 



-z^- = 9n(qi) «i H h SPir^i) «r 



oq\ 



= (prì(qr) «l H h (prr{qr) "r 



r 



(3'") " == (p r +i,i(qr+i) «i + - + 9r+ì,r{9r+i) a r + «VnfgWi) X 



Xt/2/i — t5 r+1 + 95 r+1 , f +i(^ r +i)ar+l+" , + 5p ) -- 1 -i,„_i(^rH-l)«n-l + 29) ( .+ l,n($'r+l) 



SP»l(§V) ai H h SPm-(?«) «r + X 



X|/2A — T§„ + SP„, r +l(S , »)«r+l H h ?n,n-i(?n)On-i + 2^ MW ((/ n ) ; 



