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dove TB S è una forma quadratica omogenea nelle <*i a 2 ••• <*r con coefficienti 

 dipendenti dalla sola q s . Risolvendo le prime r equazioni rispetto alle a, 

 e sostituendo le loro espressioni nelle rimanenti equazioni; poi elevando al 

 quadrato, si trovano n — r equazioni della forma 



E s + W s = 2h + 2g> sn {q s ) + g> s , r +i(q<) a r+1 -j 1- <p s , n -i{q s ) 



(s = r-fl,...o); 



dove E s , come del pari ts s , è una espressione quadratica omogenea nelle 

 derivate della V. Da queste si possono eliminare le n — r — 1 costanti a ; 

 dopo di che si ottiene evidentemente una equazione del tipo (1) (per bre- 

 vità, non la scrivo per disteso). 



Attribuendo ad r successivamente i valori 1 , 2 , ... n — 1 (ritenendo 

 «„ = 0), si ottengono n — 1 equazioni di Hamilton-Jacobi integrabili me- 

 diante la separazione delle variabili. Colle due trovate precedentemente, 

 diventano in totale in numero di n-\-\. Si noti che per r — 0, ritenendo 

 per convenzione a 0 — 0, il sistema (3"') si riduce al (3'). 



Le n-\-l equazioni ora trovate e i corrispondenti sistemi (3) potranno 

 bensì ridursi sostanzialmente a un numero minore di tipi, specializzando le 

 funzioni g> e ifj, o trasformando in modo opportuno le variabili (e anzi ciò 

 avviene effettivamente); ma lasciando interamente arbitrarie le q> e t//, e 

 considerando le sole trasformazioni del tipo Q s =Qs(?s), quei sistemi (3) 

 sono irreducibili 1' uno all'altro ; talché, sotto questo punto di vista, si pos- 

 sono considerare distinti. 



Ora è importante il fatto che, nel caso delle due e tre variabili 

 (^ = 2,3) l'equazioni di Hamilton-Jacobi, che si deducono nel modo spie- 

 gato di sopra, coincidono con quelle determinate dagli autori citati ('); i 

 quali dimostrarono che sono le sole integrabili mediante la separazione delle 

 variabili. Dunque il fatto, che non esistono altre equazioni di Hamilton- 

 Jacobi integrabili per separazione delle variabili, oltre le n -\- 1 determinate 

 di sopra (n essendo il numero delle variabili), è vero per n = 2 e 3. Ciò 

 lascia pensare che sia vero per n qualunque. Per dimostrare questo teorema, 

 che esaurirebbe interamente la questione, ho tentato il metodo dell'indu- 

 zione completa; ma si urta contro difficoltà, che non mi sembrano facili a 

 superare. In attesa d'un momento di migliore ispirazione, ho creduto utile 

 intanto di far conoscere i risultati raccolti in questa Nota. 



(') Coincidono anche rispetto alla U, come facilmente si deduce (per esempio) dallo 

 equazioni di condizione del prof. Levi-Civita. 



