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costante k e dì classe opposta ; viceversa la composizione di due tali tras- 

 formazioni B ft , Bft dà sempre luogo ad una trasformazione di Guichard. 



Nelle pubblicazioni sopra citate il sig. Servant dimostra come le tras- 

 formazioni di Guichard del primo gruppo equivalgano alle trasformazioni D m , 

 da me introdotte nel 1905 (') come casi particolari delle trasformazioni di 

 Darboux delle superficie isoterme. 



Ma, nelle mie ricerche sulla deformazione delle quadriche, lo studio 

 di queste D m non fu che un primo passo per arrivare alle trasformazioni B h 

 per congruenze W, che io riguardo come le vere trasformazioni elemeutari 

 della teoria. E già nella prefazione alla mia Memoria: Théorie des trans- 

 formations des surfaces applicables sur les quadriques générales ( 2 ) avevo 

 indicato che ogni trasformazione D TO si sdoppia nel prodotto di due B k (cfr. 

 ivi, n. XII dell' Ap ere u). Precisando ora il modo di composizione e confron- 

 tando coi risultati del sig. Servant, si ottiene appunto il teorema A), che 

 qui stabiliremo per via alquanto diversa. 



2. Sia Si una qualunque deformata della quadrica fondamentale Q, e 

 sia S 2 un'altra tale deformata ottenuta da Si con una trasformazione G di 

 Guichard del primo gruppo. Le proprietà caratteristiche della trasforma- 

 zione G, quali si rilevano dalla Memoria del Guichard (cfr. anche Servant, 

 loc. cit.), sono le seguenti" 



a) Fra i punti delle due superfìcie Si , S 2 è stabilita una corrispon- 

 denza che conserva i sistemi coniugati. 



b) Al sistema coniugato permanente (u , v) di Si corrisponde sopra S 2 

 il sistema (u , v) coniugato permanente ( 3 ). 



c) Le tangenti in punti corrispondenti di Si , S 2 alle linee (u) o alle 

 linee (v) si incontrano. 



Cerchiamo dapprima se, componendo due convenienti trasformazioni ele- 

 mentari B ft , si può ottenere una trasformazione colle proprietà a) b) c), che 

 sarà allora una trasformazione di Guichard. In questo dobbiamo tener pre- 

 sente che ogni deformata S di Q dà luogo, per trasformazioni B s , ad una 

 doppia infinità di superficie trasformate. La prima costante k è quella che 

 fissa la quadrica Q' omofocale a Q, la seconda dipende dalla direzione (ar- 

 bitraria) assegnata ad un raggio iniziale della corrispondente congruenza W. 

 Si ricordi inoltre che le trasformazioni B ft si distinguono in due classi op- 

 poste, appartenendo le prime ad uno dei sistemi di generatrici di Q , le se- 

 conde al secondo. 



f) Vedi Ricerche sulle superficie isoterme e sulla deformazione delle quadriche 

 (Annali di matematica, serie 3 a , t. XI). 



( 2 ) Savants étrangers, t. 34 (1909). 



( 3 ) Per sistema coniugato permanente {u , v) di una deformata S della quadrica 0 

 intendiamo quel sistema che resta coniugato quando S si applica sowra Q. 



