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Ciò posto, ad una deformata iniziale S di Q applichiamo due trasfor- 

 mazioni B ft , B' k corrispondenti alla medesima costante k (alla medesima 

 quadrica omofocale Q') ma di classe opposta, e dimostriamo: Le due super- 

 ficie Si , S 2 così derivate da S sono trasformate di Guichard l'una del- 

 l'altra. 



Intanto poiché le trasformazioni B H conservano i sistemi coniugati, e 

 fra questi quelli permanenti, è manifesto che nella corrispondenza fra i punti 

 di Sj , S 2 le condizioni a) e b) sono verificate. Se ammettiamo per un mo- 

 mento che anche la c) sia soddisfatta (v. n. 3), vediamo che nel passaggio 

 da Sj ad S 2 abbiamo una trasformazione G di Guichard. Ora questo pas- 

 saggio si può scindere nei due successivi da Si ad S per mezzo di una B ft , 

 poi da S ad S 2 con una B^, onde la nostra G risulta dal comporre le due 

 elementari B H ,B' kì ciò che esprimiamo colla relazione simbolica 



(i) g = b s ,b; c . 



Osserviamo poi che, entrando nella prima B, ; una costante arbitraria 

 (oltre k), ed una nuova nell'altra B*, la G composta secondo la (I) viene 

 a dipendere da due costanti arbitrarie, e pel modo come queste vi entrano 

 può identificarsi con una di qualunque trasformazione di Guichard, come 

 viene asserito nella proposizione A). 



Un'altra via per arrivare alla medesima conclusione consiste nel con- 

 siderare due delle superficie isoterme (speciali) 2 1? ,2 2 , che la costruzione 

 di Darboux associa alle deformate Si , S 2 della quadrica, e nel dimostrare 

 che -Si , 2 2 sono le due falde di un inviluppo conforme di sfere. Così la 

 trasformazione D m che conduce da 2 1 a 2 2 , ed alla quale equivale secondo 

 Servant la trasformazione G di Guichard, resta decomposta in due ele- 

 mentari. 



3. Ritornando alla prima dimostrazione del teorema A), resta ancora 

 da provare che per le due superficie Si,S 2 , dedotte rispettivamente da S 

 con una B h e . con una B' k , ha luogo la proprietà c). Riserbando la tratta- 

 zione del caso delle quadriche a centro ad altra pubblicazione, ove si da- 

 ranno altresì ulteriori sviluppi relativi al teorema di permutabilità, mi limito 

 qui ad indicare la dimostrazione pel caso dei paraboloidi ('). 



Ricorriamo per ciò alle forinole delle trasformazioni per le deformate 

 ad esempio del paraboloide iperbolico stabilito negli Annali di matematica 



(*) Una dimostrazione affatto analoga a quella che segue nel testo per le deformate 

 dei paraboloidi si può trarre per le superficie pseudosferiche (deformate della sfera im- 

 maginaria) dalle formole per la composizione delle trasformazioni di Bàcklund date al 

 § 383, voi. II delle mie Lezioni. Così si dimostra: Se le superficie pseudosferiche S t ,S 2 

 derivano da una medesima S per trasformazioni opposte di Bàcklund B a , B_ CT , le tan- 

 genti alle linee di curvatura corrispondenti di Si , Sj si incontrano. E si osservi che 

 qui le linee di curvatura danno appunto il sistema coniugato permanente. 



