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lascia qualche dubbio sulla validità della forinola in questione, finché non 

 si provi che, indicando, secondo il solito, con 6 , v e 0',v' le coordinate po- 

 lari sferiche di due punti della sfera di raggio 1, la serie 



00 2w -4- 1 



— ove i P n sono i soliti coefficienti di Laplace, e f(6' , v) è una funzione 

 di 6', v' indipendente da n e finita, continua, e, se occorre, soddisfacente anche 

 ad altre condizioni di regolarità — considerata come funzione di 6' , v\ è 

 integrabile termine a termine sulla sfera di raggio 1. 



1. La serie (1), quando al sistema di coordinate (6' , v') si sostituisca 

 un nuovo sistema di coordinate polari sferiche (y , co) col polo nel punto 

 («,»), posto f(6' , v ') = F(y , «), prende la forma 



Z fzTf P »( C0S y ) F ^ ' •) • 

 D'altra parte la serie 



5 p "( cos 



è convergente, ed anzi (v. Pizzetti, Nota cit., § 5) facilmente se ne trova 

 la forma che è data da 



<P(cos y) = cosec * -f 1 — 5 cos y — 6 sin | + 3 cos y log ^sin | — sin 2 1^ . 

 Posto 



cos y = x 



P(y , <b) rfo> = l/>(^) , 



0 



avremo dunque certamente, indicando, secondo il solito, con X n (x) i coeffi- 

 cienti di Legendre, 



ove la ^>(#) potrà supporsi, oltre che finita e continua, anche dotata di un 

 numero finito di oscillazioni in tutto l'intervallo (—1,1) in cui può va- 

 riare x . 



