Sia f{x) una funzione di x nell'intervallo (—1,1), la quale: 

 1°) è sempre finita e continua insieme alla sua derivata prima f'{x), 

 fatta eccezione al più pel punto x = 1 ove, m essendo un numero determi- 

 nato < 1, f(x) diviene infinita di ordine non superiore a (*); 



(i xy +m 



2°) presenta nell'intervallo totale (—1,1) un numero finito di 

 oscillazioni. 



Sia poi tff(x) una funzione di x che nell'intervallo (—1,1) soddisfa 

 alle condizioni di Dirichlet. 



Avremo allora, per — 1 < c <. 1 , 



_ f( x ) fi*) dx = J_ — X- Jj( c< ) x n («) da J rp{x) X n (x) dx . 



Non sarebbe difficile vedere che questo teorema non è un caso ben 

 particolare del teorema del prof. Dini ( 2 ) relativo all' integrazione termine 

 a termine delle serie di funzioni H soddisfacenti all'equazione differenziale 

 lineare del 2° ordine dipendente da un parametro 



£ [ K{x) W\ + *w + mm h = o . 



Nondimeno, siccome le considerazioni che valgono a dimostrare tale 

 teorema del prof. Dini si riducono ben semplici nel caso particolare in 

 questione, noi daremo per intero la dimostrazione della formola (2). 



2. Cominciamo dal porre in evidenza una proprietà dell'integrale 



( £ [li Xi (x) X, (x + ol dt' 



che è essenziale per quanto segue. 

 Posto, per brevità di scrittura, 



fp(t , x , h n ) = v. 2làr_± Xn ( x ) x(x _j_ t) ì 



IT- 2 



servendosi della nota formola ricorrente 



(» + 1) X i+1 — (2i -f 1) xXi + t'X<_, = 0 , 



(*) Ciò che porta in particolare che f{x), se diviene infinita per x — \, lo diviene 

 d'ordine non superiore a (1 _ — e quindi resta atta all'integrazione insieme alla fun- 

 zione dei suoi valori assoluti. 



(*) Dini, Sviluppi in serie di funzioni H che soddisfano all'equazione del 2° or- 



dÌn6: ^( K ^f) + [F(a?),,(3) + F '^)J H = 0 (PP- 186 e "ggO. 



