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si trova subito: 



. n 4- 1 X w+ i(a; + t) Xn(a?) — X n+ i(x) X„(x + fl 

 <p{t,x , hn) = — 2 * 



Di qui, servendosi del 2° teorema del valor medio, e della nota formola 



i Xn+ifo) — X„_i(a) 



si deduce immediatamente che se f, , ^ sono due valori di * diversi da zero 

 e dello stesso segno, se indichiamo con a un numero positivo tale che sia 

 contemporan eam ente 



«<|<i| , «<IM» 



avremo 



fh 1 , n [— 1 « 1 y / \ n + 1 



J g>(* , # , /in) ^ < j X n (^) 2^qi3 + 7 W 2» + 1 ' 



Di più, in base alla formola ora ricordata si vede che si ha 



1 _ 1 



2 2 



1 _1 



2 2 



I 



%(* ,x,h n )dt= \ — \ Xn(^) X n+1 («) 



0 



, £C , ìl n ) dt=—\ ~\ X„(X) Xn+i(fl?) 



0 



Possiamo dunque concludere che: /fssato «ero * positivo , piccolo 

 ad arbitrio, se facciamo variare x tra —\-\-s e l — s e contempora- 

 neamente t fra -l-x e x-s e tra x + * e al crescere 

 indefinito di n l'integrale 



g>(t' ,%,h„) di 



convergerà in egual grado verso il suo limite per n = & {che sarà ±|, 



secondochè t < 0). 



È inoltre ben noto (*) che, qualunque siano i valori dati ad x,n,t, 

 V integrale in questione si mantiene sempre inferiore a un numero finito. 



3. Premesso tutto questo, veniamo a dimostrare la formola (2). Fissato 

 un numero e positivo piccolo ad arbitrio, indichiamo con M E il massimo della 

 funzione f x {x) dei valori assoluti di f{x) nell'intervallo (—1,1 — *), mol- 

 tiplicato pel numero delle oscillazioni di f{x) nell' intervallo totale (-1 , 1). 



Indichiamo inoltre in generale con |< il limite superiore dei valori 

 assoluti della differenza 



1 



2 



<p(t' , x , h») dt' 



(') V. ad es. Bini, Serie di Fourier, § 116. 



