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Matematica. — Un teorema sulle soluzioni delle equazioni 

 lineari ellittiche autoaggiunte alle derivate parziali del secondo- 

 ordine. Nota di Mauro Picone, presentata dal Socio L. Bianchi. 



1. Nella presente Nola do un teorema per le soluzioni delle equazioni 

 lineari ellittiche, autoaggiunte, alle derivate parziali del second'ordine che 

 è perfettamente l'analogo del classico teorema dì confronto di Sturm nella 

 teoria delle equazioni differenziali lineari ordinarie del second'ordine. E la 

 dimostrazione consiste appunto in una immediata estensione di quella che 

 io detti del teoremo indicato di Sturm nelle mia Tesi di abilitazione ( 1 ). 



Il teorema, che qui dimostro, conduce poi ad una notevole proposizione 

 sugli zeri delle soluzioni delle equazioni lineari ellittiche autoaggiunte del 

 second'ordine, i cui coefficienti dipendono in un certo modo da un para- 

 metro X, proposizione che, in particolare, stabilisce molto semplicemente 

 una nota proprietà delle linee nodali nelle oscillazioni semplici di una mem- 

 brana vibrante. 



Lo stesso teorema permette altresì, come farò vedere in una Nota che 

 seguirà la presente, di assegnare in modo preciso, per la più generale equa- 

 zione ellittica autoaggiunta del second'ordine, il limite superiore di lunghezze 

 lineari da cui dipende l'estensione di una regione piana di contorno presta- 

 bilito (per esempio, il limite superiore della larghezza di una striscia, della 

 larghezza di una corona circolare, del raggio di un cerchio, ecc.) per la 

 quale sussiste la proprietà che i valori dell'integrale assegnati su un con- 

 torno chiuso limitante un campo tutto contenuto in essa valgono a determi- 

 nare l'integrale. 



2. Si abbiano le equazioni ellittiche autoaggiunte del second'ordine: 



-f A 2 (# , y) u = 0 ; 



per le quali 6 l ,e ì ,t l , t, . , '\ %ì , Xl , 2?1 2*1 Ih ìh. ìk ih ih ^ 



~ÒX ~hx ~ÒX ~òy ' 1x ' ~ày 'V!' V 



(*) Picone.. Sui valori eecezionali di un parametro da cui dipende una equa- 

 zione differenziale lineare ordinaria del second'ordine (Annali della E. Scuola Normale 

 Superiore di Pisa, voi. XI). Le molte altre dimostrazioni che si conoscono del teorema 

 di Sturm non mi pare siano suscettibili di una simile estensione. 



Eendiconti. 1911, Voi. XX, 1° Sem. 29 



