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A[ , A 2 sono funzioni finite e continue in un campo connesso e finito C di 

 contorno chiuso c . 



Avendo supposto le equazioni (1) e (2) ellittiche, risulterà in C 



supporremo sempre, per fissare le idee, che in G sia 



fli>0,ri>0 , 0 2 >O,r 2 >O. 



Vale allora il seguente teorema ài confronto: 

 Se è in C 



0,># 2 , (0,— *,)(*! — t 2 ) — — t 2 y > 0. 



A 2 Aj 



ed esiste una soluzione u della (1) identicamente nulla sul contorno c 

 di C ('), non potrà esistere una soluzione v della (2) per la quale il 

 rapporto 



u_ 



V 



non sia costante in C e ivi si conservi finito. 



Ammettendo infatti l'esistenza in C dell' indicata soluzione v della (2) 



per la quale il rapporto - si conserva finito, si perverrà ad un assurdo nel 



modo che segue. Poiché u è nulla su c, si ha la relazione 



<*> j) h (£)+ 2u Si + ** (I)' 1 ~l A, " ! & rfy • 



nella quale, ora come sempre in seguito, intenderemo gli integrali doppi 

 estesi al campo C ( 2 ). Poniamo nella (3), in luogo di A,u z , la sua eguale 



v ( ~òx\ ~òx oyì l>y\ T>x ìyj) 



(') Sottintendiamo naturalmente una soluzione non identicamente nulla in C. Av- 

 vertiamo che parlando di una soluzione di un'equazione del 2° ordine, supporremo la 

 soluzione finita e continua nel campo C (il contorno incluso) insieme alle sue derivate 

 prime. 



( 2 ) Gfr. Picard. Traité d'Analyse, t. II (1905), pag. 23 e seg. Dalla (3) del testo 

 si deduce, com'è noto, poiché la forma quadratica 0, X 2 -f- 2U XY + t^Y 2 è definita po- 

 sitiva, che se in C è A(j» , y) <. 0 , una soluzione della (1) nulla su c è identicamente 

 nulla in C, si deduce cioè, nell'ipotesi k{$ ,y) <-0, il teorema d'unicità per gl'inte- 

 grali della (1) che prendono su c valori assegnati. Notiamo che questa conclusione non 

 rientra in quella analoga del ricard a pag. 24 del luogo citato, rientra invece, supposta 

 una più elevata derivabilità nei coefficienti dell'equazione, in un teorema del Paraf (cfr. 

 Picard, loc. cit., pag. 34). 



