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si deduce necessariamente, 



"ÒU U ~ÒV ~j)U U ~Ì)V 



~òx v ~òz ~hy v ~òy 



cioè che il rapporto - è costante in C. Questa conclusione, poiché in C 



non è identicamente u = 0 , è contraria ad una delle ipotesi ( 1 ). 



Osservando che l'equazione (2) può anche coincidere colla (1), possiamo 

 dunque dire: Se esiste in C una soluzione u della (1) nulla su c, non può 

 esistere una soluzione v della stessa (1) o della (2) che non si annulli mai 



, , ., " u . 



in C (il contorno incluso), o che si annulli in modo che il rapporto - si 



conservi finito in tutto C (il contorno incluso), a meno che u e v non di- 

 pendano linearmente. 



Rileviamo che si ha in particolare: 



In un campo C in cui esiste una soluzione della (1) nulla sul con- 

 torno , ogni soluziona della stessa (1) o della (2) non può sempre conser- 

 varsi diversa da zero. 



Questa conseguenza, per quanto concerne la sola equazione (1), è ben nota. 



3. Si abbia ora l'equazione 



(4) 



i cui coefficienti dipendono dal parametro X in modo che essa sia ellittica 

 per qualunque valore di X. Si può facilmente dimostrare il teorema: 



Se le funzioni 6(x , y ; X) , t(cc , y ; X) , i (x ,y ; a) , k{x , y ; X) , — , 



— , — , — , sono in C , per ogni valore di X , finite e continue e sod- 

 Isy !>x !>y 



disfano alle limitazioni 



l F(X) > 6{x ,y ; X) >p(X) > 0 , ¥(X) > r{x , y ; X) > p(X) > 0 , 

 (5) \V(X)-d(x,y;X)\ .\Y{X)-z{x ,y ;X)\-t\x ,y ;X) > 0, 



( M(A) > A(# , y ; X) > w(A) > 0 , 



(») Osservando la dimostrazione del teorema può sembrare a prima vista che si 

 possa fare a meno della condizione per la (1) d'essere ellittica, ma si vede facilmente 

 che dalle diseguaglianze 0, ^i0 2 , 0 2 > 0 , (0, — 0 2 ) ( Tl — t 2 ) — (f, - >l 0 , 0 2 t 2 — *f>0, 

 segue 0 1 >O,0,t 1 — f?>0. 



