— 218 — 



esisterà pertanto, comunque piccolo sia e, un tal valore X 0 di X che per 



X > X a si abbia 



Ora per gli indicati valori di X non inferiori a X c , in un qualunque 

 cerchio di raggio <r è contenuto almeno un quadrato Q\ kì per cui in una 

 qualunque porzione di C limitata da un cerchio di raggio <r, pei detti valori 

 di X non inferiori a X a , vi si annulla ogni soluzione della (4), c. v. d. 



5. Ne concludiamo che se u(x ,y;X) è una qualunque soluzione della 

 (4), i punti le cui coordinate x e y soddisfano l'equazione 



u(% , y ; X) = 0 , 



invadono in modo uniforme, per X crescente all'infinito, una qualunque 

 porzione di C, comunque piccola e dovunque situata. 



Alle ipotesi del teorema, testé dimostrato, soddisfa l'equazione 



2(^\j_2( t ^\ + ( AA + B)w = 0, 



per la quale 0 e % non dipendono da X e con k{x , y) si conservano in C 

 maggiori di una quantità positiva. Consideriamo la (4) nel caso ancora più 

 particolare 



8(x,y;X) = r{x,y,X) = l , t(x,y,X) = 0 , k{x , y ; X) = X 1 , 

 consideriamo cioè l'equazione delle membrane vibranti 



È noto che per classi particolari di contorni e di C è stata dimostrata 

 l'esistenza di infiniti valori positivi di X 2 (i valori eccezionali di X*) 



aventi il punto infinito per unico punto limite, per ciascuno dei quali esi- 

 stono soluzioni della (8) nulle su c e non identicamente nulle in C (')• 



Considerando contorni c della specie indicata, designamo con u(x,y; h) 

 una soluzione della (8), corrispondente al valore eccezionale X%, nulla su c, 

 i punti di C (interni) in cui si annulla u(x,y;X h ) si distribuiscono in 



(•) Cfr per esempio, Poincaré, Sur les équations de la Physique Mathématique 

 [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1894)]; Hilbert, Gmndzuge etner allge- 

 meinen Theorie der Unearen Integralgleiohungen (Zweite Mitteilung) [Gottinger ^ach- 

 richten (1904)]. 



