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Matematica. — Sugli integrali curvilinei. Nota di Leonida 

 Tonelli, presentata dal Socio S. Pincherle. 



Nel calcolo delle variazioni si considera l'integrale di una funzione 

 F(x ,y,x',y') (positivamente omogenea, del grado 1, rispetto alle x' , y , e 

 soddisfacente a certe condizioni di continuità e derivabilità) calcolato lungo 

 curve G:x = x(t) ,-y = y{l), tali che esistano rinite e continue, eccettuati 

 al più un numero finito di punti, le derivate x'(t) , y'{t); e ci si accontenta 

 di dire che l' integrale non cambia per una trasformazione parametrica delle 

 curve, ottenuta mediante la t = t{r), quando si supponga la funzione t{r) 

 continua, a derivata maggiore di zero. Questa ipotesi è di troppo restrittiva; 

 e poiché è interessante sapere fin dove è possibile spingere la trasformazione 

 detta, senza alterare il valore dell'integrale della F, — specie oggidì che 

 cominciano a considerarsi anche curve semplicemente rettificabili, — noi ci 

 proponiamo di studiare appunto tale questione nella presente Nota. 



1. Supporremo le nostre curve C. continue, rettificabili e giacenti in 

 un campo A, in ogni punto (x , y) del quale e per qualunque coppia {x',y) 

 di numeri finiti non nulli insieme, si immagina data una funzione continua { l ) 

 F(x ,y,x', y'), la quale sia positivamente omogenea ( 2 ), del grado 1, ri- 

 spetto alle variabili x' . y'\ vale a dire, soddisfi alla relazione 



F{x ,y. kx , ktj) = kF(x , y , x' , y') . 



per qualsiasi k ^> 0 . 



2. Prima di procedere, occorre fare un'osservazione. Sia in un intervallo 

 (t 0 , r,) la funzione continua, non decrescente, l = t(r); con t 0 = t(T 0 ), 

 t ì = /(t,). La sua funzione inversa % = r{t), considerata in (t 0 , ti), sarebbe 

 ad un valore se la t{t) non fosse costante in nessun tratto; ma poiché tale 

 ipotesi non è stata da noi fatta, potrà la r{t) essere a determinazione mul- 

 tipla. Notiamo, però, che, se ad un valore t di (t 0 , ty) la t = v(t) non fà 

 corrispondere un sol valore r di a t devono corrispondere tutti i 

 punti di un intervallo {%' , %") , e solamente essi. Ne viene che, per la 

 T = z(t), ad ogni insieme E t di punti di (t 0 , ti) corrisponde un insieme E T 

 ben determinato di (t 0 ,t ì ) ; e ad un intervallo (/ , t"), un intervallo (*>"). 

 Dopo ciò, osserviamo che la t(z), per essere non decrescente, è a variazione 

 limitata ed ammette quindi derivata finita, t'{t), in ogni punto di (t 0 , z^), 

 ad eccezione, al più, di un insieme di misura nulla. Se in questo poniamo, 

 per definizione, t'(t) = 0, abbiamo, in tutto (t 0 , z,) ,t'{r) > 0 , ed anche 



( 1 ) Qui non poniamo alcuna condizione sulla derivabilità della F. 



( 2 ) Denominazione di Bolza {Lectures on the Calculus of Variations. Chicago, 1904). 



Rendiconti. 1911. Voi. XX, 1° Sem. 31 



