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t'{T)dz^t(r")-t(r') (>). Da ciò segue che, se (f , t") , (V , t") sono 



due intervalli corrispondentisi nel modo sopra detto, è, indicando con 



«[(*',*")] la misura di (t',i"), m£(t' , *")] = f - f > P'V(t) dx. 



Si prenda, ora, una successione infinita di gruppi J t di intervalli senza 

 punti comuni di racchiudenti l'insieme E { , in modo che ogni J, 



sia contenuto nel precedente e che la misura m(J t ) tenda a m{%). Siano 



Jt,E t , gli aggregati corrispondenti a J t ,E t . È m(J t ) > ft'Mdr, e 

 poiché J T contiene E- , m(J t ) > dx > £ f( T ) d x . Essendo poi 



limm(J0==m(È(), se ne conclude m(E,) > ( Da ciò risulta che, 



se E, è di misura nulla, in E T è f(*) = 0, ad-eccègienè al più di un in- 

 sieme di misura nulla <? T ( 2 ). 



3. Sia ora una delle curve C (n. 1), e sia x = x(s) , y = y(s), 

 (so^s^s,) la sua rappresentazione parametrica in funzione dell'arco. 

 Come si sa ( 3 ) in tutti i punti di (s 0 , Sl ), eccettuati al più quelli di un 

 insieme di misura nulla &„ le derivate %'{ s ) , y '(s), esistono determinate e 

 finite, e soddisfano all'uguaglianza x'*(s) + f\ s ) = 1 . E poiché il campo 

 dei punti {x,y,x',y') tali che {x , y) sia su C e x\y' soddisfino alla 

 relazione x '* + y'*=l è finito e chiuso, la F(x,y,x',y') supposta con- 

 tinua, è in esso limitata. Ne viene che, ad eccezione dell' insieme di misura 

 nulla detto, la F(x(s) , y(s) , x'(s) , y'(s)) - che poniamo uguale allo zero 

 nei punti ove le x'(s) , y\s) non esistano o sono ambedue nulle — è pure 

 limitata. Perciò tale funzione, che nell' insieme complementare di & s , G(è s ), 

 è, per un noto teorema della classe 1 (classificazione di Baire) e quindi 

 misurabile, è anche integrabile. Esiste dunque determinato e finito l'inte- 



grale j F(x(s) , y(s) , x'(s) , y\s)) ds, per ogni s di (s 0 , s,). Ciò posto, 



O Per vederlo, basta riprendere i ragionamenti fatti da G. Vitali nella sua Nota: 

 Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali (Atti della R. Acc. delle Scienze 

 di Torino, 1907-08), al Cap. II, § 2, per dimostrare l' integrabilità di un numero derivato 

 di una funzione a variazione limitata. 



( a ) Il ragionamento qui usato mi è stato suggerito da quello di cui si è servito il 

 Lebesgue {Sur les intégrales singuliers, Ann. de la Fac. de Toulouse, 3 e S., I) per di- 

 mostrare la medesima posizione nel caso di una funzione integrale, non decrescente, t(r). 



(«) Vedi Lebesgue, Lecons sur Vintégration et la recherche des functions primi- 

 twes (Paris, Gauthier-Villars, 1904), pag. 126. 



(*) Vedi Lebesgue, Sur les fonctions représentables analytiquement (Journal de 

 Mathématiques pures et appliquées, 1905). 



