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prendiamo a considerare la rappresentazione generale della curva C in fun- 

 zione di un parametro arbitrano t: x = Xi(t) , y =f= yi(t) , (t 0 <. i ^. ti). 



Se indichiamo con S(t) la lunghezza della curva, questa funzione ri- 

 sulta positiva, continua e non decrescente, e come tale — essendo a varia- 

 zione limitata — ammette, per tutti i valori di / dell'intervallo (t 0 , ti), ad 

 eccezione al più di quelli di un insieme di misura nulla e' t , derivata deter- 

 minata e finita. Posto I(s) = ) F(x(s) , y{s) , x'(s) , y'(s)) ds — dove s 0 



ed s sono i valori di s(t) che corrispondono a t 0 , t — questa I(s) risulta 

 funzione continua, a traverso la s, di t\ vogliamo mostrare che ammette in 

 tutti i punti di (/o , eccettuati quelli di un insieme di misura nulla, 

 derivata uguale a F(x{s(t)) , y{s{t)) , x' s (s{t)) , y' s {s(t))) s'(t) . L' integrale I(s), 

 come funzione del suo estremo superiore s, ammette in tutti i punti di 

 (s 0 , Si), meno quelli di un insieme E s di misura nulla, per derivata la fun- 

 zione sotto il segno F(x{s) , y(s) , x'{s) , y'{s)). Indichiamo con E e l'aggregato 

 dei punti dell'intervallo (/ 0 , ti) che la s(t) fa corrispondere ad E s ; per 

 quanto si è detto al n. precedente, è in E t , esclusi al più i punti di un 

 gruppo e t di misura nulla, s'(t) — 0 . Si ha, allora, in ogni punto di C(E t ) 

 che non appartiene ad e' t , 



(1) V t (s(t)) = V s {s(t)) ■ s'(i) = nx(s(t)) . y(s(t)) , x' s (s(t)) , y' s (s(t))) s'(t) ; 



e la stessa uguaglianza vale anche per quei punti di E ( che non apparten- 

 gono all' insieme e' t + e t , perchè in essi è s'(t) = 0. Dunque, eccettuati i 

 punti dell'insieme di misura nulla e\ -f- e t , l(s(t)) ammette derivata rispetto 

 a t, e vale la (1). E poiché s'(t) , come derivata di una funzione a varia- 

 zione limitata, è certamente integrabile, tale è anche la Ié(s(^)), perchè la 

 funzione F(x(s(t) , y(s(t)) , x' s (s(t) , y' a (s(t))) è in (t 0 ,ti) limitata. Consideriamo, 

 ora, l'espressione ¥(xi(t) , y^t) , x[(t) , y[{t)). Essendo Xi{t) , y x {t) , s(t), a va- 

 riazione limitata, le derivate x[(t) , y[{t) , s\t), esistono finite in tutti i punti 

 di (t 0 , ti), ad eccezione al più di un insieme di misura nulla E . La F non 

 è definita in quei punti di E nei quali non esistono entrambi le x'(t) , y'(t), 

 ed in quelli di C(E) ove esse esistono, ma sono ambedue nulle. Negli uni 

 e negli altri porremo, per definizione, F(xi(t) , y x (t) , x[(t) , y[(t)) = 0. Vo- 

 gliamo mostrare che in C(E) è sempre 



(2) F{ Xl (t) , yi{t) , x[{t) , y[(t)) = F(a(*(<)) , y(*(<)) , , vW))) s'(t) . 



Indichiamo con d(E) il gruppo dei punti di C(E) in cui è s'(t) — 0; 

 con C 2 (E) quello dei rimanenti. È, se s(t + à) — s(t) >• 0, 



Xl {t + S)—X i(t) Xi{t + ó) - X i(t) s{i + ó) — s{t) 

 {óì ó ~ s(t + S) — s{t) ó 



