da cui, essendo 



x^t + ó) — at ijt) 

 s{t -f ó) — s(t) 



^1, 



Xi(t + ó) — xAt) 



s(t + ó)- s (t) 



(4) 



se poi fosse s(t + — s(l) = 0, sarebbe a più forte ragione asi(* + à) — 

 — Xi(t) = 0. Se ne deduce che nei punti di C,(E) è x[(t) = 0; ed analo- 

 gamente y[(t) = 0. È dunque, nei punti detti, ^{t) ,1/^t) ,x' } {t) ,y[(t)) = 0; 

 ed essendo s'(t) = 0, vale in d(E) la (2). Sia £ un punto di C,(E); poiché 

 in esso vale la (3), per ó abbastanza piccolo, esiste x' s (s) , ed è x[{t) = 

 = x' s (s(t)) s'(t). Analogamente esisterà nei punti di C 2 (E) la y'Js), e si avrà 

 = yl(s(t)) s'(t). Ne viene che in C 2 (E) vale la (2), la quale risulta così 

 dimostrata in tutto C(E). Essendo E di misura nulla ed esistendo l' integrale 

 del secondo membro di tale uguaglianza, esiste anche quello del prino ed è 



Pf^O ., yì (t),x[(t), y[(t)) dt = 



= f k ${x(s(t)) ■■ y(*(Ò) , *l(s(t) , y's{s(t))) S'(t) dt . 



Concludiamo con la seguente proposizione : qualunque siano le funzioni 

 continue x=> x x {t) ,y = y x (t), che rappresentano in (t 0 , t.) la curva ret- 

 tificabile C, esiste sempre l'integrale 



f F(a?,(0 , Vl {t) , x[(t) , y[(t)) dt, {U<t< t,) , 



dove P rappresenta lo zero nei punti nei quali una delle derivate x[{j),y[{t) 

 non esiste, ed in quelli ove è x[(t) = y[{t) = 0. 



4. Supponiamole x x {t) , y^t), assolutamente continue ('); allora è tale 

 anche s(t) ( 2 ) ed è s(t) = f s'(t)dt. Essendo poi s(t) funzione non mai 



decrescente di t, segue da un teorema sull'integrazione per sostituzione, 

 dovuto ad E Lebesgue e dalla (4) 



(5) f F{x(s) , y(s) , x'(s) , y'(s)) ds = f F(^(7) , ^) , , ^. 



Dunque, se sowo assolutamente continue le funzioni x^t) , ^(f) — ojt^wre 

 se /o è s(/) — ^ (5). 



(*) Diremo, con G. Vitali [Sulle funzioni integrali (Atti della E. Acc. delle Scienze 

 di Torino, 1904-05)] assolutamente continua una funzione f{x) in (a, è), se preso un 

 numero positivo <r, piccolo a piacere, esiste poi sempre un corrispondente fi, maggiore 

 di zero, tale che sia \Z\f{§i) — f(«i)\\<e, dove la sommatoria è estesa ad un qualsiasi 

 gruppo d'intervalli («< , pi), senza punti comuni, di fa , b), avente una misura minore di 



{") L. Tonelli, Sulla rettificazione delle curve (Atti della R. Acc. delle Scienze di 

 Torino, 1907-08). 



( s ) «SV les integrales singuliers (loc. cit.). 



