Si ha anche che se x = x\{t) , y = i h (t) ; x = , 2/ = sono 

 due rappresentazioni della stessa curva C, e se tutte le funzioni scritte 

 sono assolutamente continue, allora è 



f F(aa(0 - ?!■(<) > » tf(0) = f , 2^) > *) . dr. 



In queste proposizioni si può sostituire l'assoluta continuità con l'esistenza 

 di un numero derivato finito in tutti i punti dell'intervallo in cui si con- 

 sidera, eccettuati al più quelli di un insieme riducibile. 



5. Le condizioni dianzi trovate sono solo sufficienti: per giungere a 

 quelle che sono anche necessarie, faremo l'ipotesi che la F sia sempre di- 

 versa da zero. Dimostriamo, allora, che affinchè valga, per ogni t di (t 0 , ti) 

 l'uguaglianza 



(6) p (t> ¥(x{s) , y(s) , x\s) , y\sj) ds = j F(a? 1( (fl , y^t) , x[{t) , y[(t)) di 



S(t 0 > 



è necessario che la s(t) sia assolutamente continua. Non lo sia, se è pos- 

 sibile. Dovrà esistere un e tale che, per quanto piccolo si prenda il numero 

 positivo fi , si possa poi sempre trovare un gruppo d' intervalli (a 4 , ft) senza 

 punti comuni e di somma minore di fi . in modo da rendere soddisfatta la 

 disuguaglianza — s(a t )\ > Osserviamo qui che, eccettuati i valori 



di s di un insieme di misura nulla, è x'\s) + f \s) = 1 ; e poiché la F nei 

 punti (#(*) , y(«) , »'(*) , </'(*)) corrispondenti è continua e diversa da zero, 

 e perciò anche maggiore di un minimo m > 0, fisso, se per es. è F > 0, 

 possiamo scrivere 



P ( '* F(^(s) , , as'(a) , y\s)) ds>m — s(«0 ( , 

 7 f S %(;r(s) , y(«) , *'(*) . ^ s > 



e ciò vale comunque si prenda piccolo il fi, numero maggiore della somma 



degli intervalli (a, , fiì). 



Questo prova che la funzione di t che figura al primo membro della (6) 

 non è assolutamente continua; e poiché, invece, lo è quella del secondo, 

 giungiamo ad un assurdo. La proposizione propostaci è così dimostrata; e 

 possiamo dire, riunendo il risultato qui ottenuto e quello del n. precedente, 

 che la continuità assoluta della s{t) (o delle x^t) , y^t)) è condizione ne- 

 cessaria e sufficiente affinchè valga la (6), quando la F sia sempre diversa 

 da zero. Abbiamo anche: se la F è sempre diversa da zero e se le Xy(t), 



