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y£) sono assolutamente continue, la condizione necessaria e sufficiente 

 affinchè valga, per ogni t di (t a , t,) la 



Jj(Mt) , y>{t) , x[(t) , m dt =J>*,(*) , m , *) , ^) 



è cà* siano tali anche le x 2 {t) , y 2 ( T ). 



6. Nel caso della F =j= 0 e, per es., maggiore di zero, possiamo pro- 

 vare che: l'integrale jjdt, al variare della rappresentazione parame- 

 dica della curva, assume tutti i valori possibili compresi tra un minimo, 

 uguale allo zero, ed un massimo, dato da J'j(ds). Riprendiamo l'inte- 

 grale I( S ) del n, 3. Per l' ipotesi qui fatta su\ I( s ) è , come la s(t), fun- 

 zione non decrescente; tale è, perciò, anche l(s(t)). Si ha così, per un'os- 

 servazione già fatta a proposito dell'integrale di t'(r) (n. 2), 



V t (s{t)) dt < l(s(t)) - l( s ( to ) = ì( s (t)) . . 



Ma è (n. 3) 



e quindi 



r t (s(0 dt = J io ¥(x{s{t)) , y( S (t)) , X ' s (s(t)) , y' s ( S (t))) s(t) dt = 



= h(Mt),yi(t),x[(t),y[(t))dt, 



jj(Mt) , HO , X[{t) , y[{t)) dt < \\ x{s) , y{s) , ^ , /(s)) rfs . 



Per mostrare, ora, che il valore dell'integrale di F può ridursi a zero, 

 consideriamo nell'intervallo (0,1) l'insieme J di Cantor, costituito dai punti 



di ascissa t = — -J— — l -^2- _i_ j 



3 3 2 > 33 T "" ' dove 1 numeratori a sono uguali a zero, 



oppure a 2; e definiamo su (0,1) la seguente funzione: su J sia <p(t) = 

 ~ \ 2 z*i "'■ ) ' P er * = "3" + 3F 4- - , negli intervalli contigui ad J 

 la <p(t) sia costante. È dunque <p(0) = 0 , <p(l) = 1, vale a dire la a>U) non 

 e costante in tutto (0,1); si vede poi facilmente che essa è continua, non 

 decrescente e non assolutamente continua ('). Ciò posto, si consideri il tratto 

 (0 ^-1) della curva C:* = x(s) , y = y {s ), e si ponga s = <p( t ): si 

 avrà x = x,(t) ,y = y x (t). W 



F) Di questo esempio si è servito il Lebesgue (Z^, stór Vintégrdtion etc, pag 55) 

 per mostrare che il calcolo della variazione totale di una funzione non può essere fatto 

 servendosi di gruppi di infiniti intervalli contigui ad insiemi non riducibili 



