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Un esempio elementare, particolarmente interessante, si ha nel passaggio 

 dal cerchio ad una striscia (porzione di piano compresa fra due rette paral- 

 lele). La relazione funzionale corrispondente (o, più esattamente, certo suo 

 corollario) consente di attribuire tutto il desiderabile rigore ad un bril- 

 lante artificio analitico escogitato da Lord Rayleigh per cogliere i caratteri 

 salienti dell'onda solitaria. Più generalmente essa consente di lumeggiare 

 l'intera teoria delle onde di canale. 



In vista di ciò, chiedo all'Accademia il permesso di intrattenermi al- 

 quanto diffusamente sopra l'anzidetta trasformazione, che pur non presenta 

 alcuna novità concettuale. 



La deduzione e discussione delle formule occuperà questa e una suc- 

 cessiva Nota. In una terza Nota potrò finalmente passare alle applicazioni. 



1. — Richiamo della formula del Dini. 

 Sia a una funzione armonica, regolare in un certo campo, finita e con- 

 tinua sul contorno di tale campo assieme alla sua derivata normale — 



dn 



(n designando la normale al contorno, vòlta verso l'interno del campo). 



La conoscenza dei valori di ~ sul contorno determina notoriamente a, 



dn 



a meno di una costante additiva. L'espressione esplicita, nel caso di un 

 campo circolare, fu assegnata dal prof. Dini già parecchi anni or sono (*), 

 e può scriversi come segue: 



(!) a P = — — ( log R _=r- (~\ dei + cost, 



dove c rappresenta la circonferenza che limita il campo; R il suo raggio; 

 al log va attribuita la determinazione reale; a P sta a rappresentare il va- 

 lore della a nel punto generico P (interno, o anche appartenente alla cir- 

 conferenza e) ; P' è il coniugato armonico di P, rispetto a c ; Pi è un punto 

 di c , rispetto al quale va eseguita l' integrazione, e si contrassegnano col- 



> . , dee 

 l' indice 1 le determinazioni, che si riferiscono a Pj , della funzione — e 



dn 



dell'elemento d'arco de. 



Assumiamo, per semplità, eguale ad 1 il raggio di c, e introduciamo 

 un sistema cartesiano £ , rj coll'origine nel centro, nonché le corrispondenti 

 coordinate polari q , a . 



Considerando, accanto alla funzione armonica (dei punti del 



nostro campo circolare), la sua associata /?(£ , rj), definita (anch'essa a meno 



(') Sull'equazione J*u = 0, Annali di Matematica, ser. II, tomo V, 1871, pp. 305-345. 



