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2. — Corollari. 



Supponiamo in particolare che si tratti di una funzione reale 

 per £ reale. La parte reale a assume allora valori eguali in punti simme- 

 trici rispetto all'asse reale v = 0; la /? assume invece valori opposti. Ciò 

 sì traduce, per i punti di c, nelle formule seguenti: 



(a(2nr — cr) = a {<s) , 

 ( £(2 J— <r) = — /*(cr) , 



donde, per derivazione, 



( a'(2n~ cr) = — «'(cr), 

 I /S'(2ti— <r)= ^(<r). 



In virtù dell'ultima di queste relazioni, ove si scinda nella (5) l'in- 

 tervallo di integrazione in due parti (da 0 a tv, e da n a 2tt), si cambi, 

 nel secondo integrale, la variabile corrente di integrazione <r, in 2n — 

 e si ponga 



(7) H(ff 1 ,«r) = log- 1 



16 8en»^=-^8en«-^J-±^ ' 



2 2 



si può attribuire alla (5) la forma 



( 8 ) a ( a ) = ^ C H(cr, , cr) ^'(cr,) «fcr, -f cost . 



Dacché si ha identicamente 



H(cr 1 , 2tt — a) = E(a ì , cr), 



rimane inclusa, nella espressione (8) di a, la condizione di simmetria al 

 contorno a(2n — cr) = «(cr) . 



In modo analogo, si ha dalla (6), ove si tenga conto di u\2tc — g) = 

 = — a r (cr) e si ponga 



2 Ci + cr 

 sen 2 - 



( 9 ) K(cr 1 , tf ) = log 



2 



sen 



cr, — cr 



2 



/?(tr) = ~ 2^ ' ^ ^ + c ° st • 



Essendo identicamente 



K(cr, , 2n — a) = — K(cr, , cr) , 

 la proprietà emisimmetrica di /? 0(2*-*) = - esige che la costante 



