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nell'origine (e che rimane univocamente fissata per continuità entra o anche 

 sopra la circonferenza |f|= 1, fatta solo eccezione per i punti 1), si ha 



Iog(l+f) = log <?_, + fA-x , 

 log(l — f) = logg 1 , 



dove a log , log q x vanno naturalmente attribuiti i loro valori reali. 

 Ne consegue 



(12) /=5p + ^=,llo g ^ + ^(^_ 1 -|-^ 1 ) . 



TI Q l TI 



Atteso il significato geometrico di #_ x , & x , questa formula mostra netta- 

 mente che, al variare di £ nel semicerchio di ordinate positive, ifj rimane 

 compreso fra 0 e 1, assumendo il valore zero sul diametro e il valore 1 

 sulla semicirconferenza 1 , «' , — 1. Variando invece £ nel sottostante semi- 

 cerchio, ip varia fra 0 e — 1, assumendo (come poteva asserirsi a priori, 

 data la realità di f sull'asse reale) valori opposti in punti simmetrici. 



Le varie circonferenze passanti per i punti — 1,1, o meglio gli archi 

 di tali circonferenze interni a c (inclusovi il segmento rettilineo — 1,1, 

 che ne è caso limite) sono luoghi di punti, per cui 



V> = -(#_!+#,) 

 T TI 



conserva valore costante. Mentre £ percorre uno di questi archi, passando 

 da — lai, (>_! cresce costantemente, a partire dal valore zero, e Qi de- 

 cresce costantemente, convergendo verso zero. 



Il rapporto — - varia dunque, sempre crescendo, da 0 a oo , sicché 



d 



<f = - log — 

 n Qi 



varia, crescendo sempre anch'esso, da — oo a -J— oo . Ciò vai quanto dire 

 che l'affissa f descrive (nel suo piano rappresentativo) una parallela all'asse 

 delle ascisse, percorrendola tutta, in senso positivo. 



Se ne conclude che la (11) fa corrispondere al campo circolare |£'<. 1 

 del piano f la striscia S del piano f compresa fra le due rette \p = ±l, 

 la corrispondenza risultando biunivoca anche fra i contorni. 



Val la pena di rilevare che a valori puramente immaginari di £ cor- 

 rispondono analoghi valori di f. Ciò risulta per es. dall'osservare che, per f 

 puramente immaginario, 1 -J- C e 1 — £ riescono coniugati, sicché il modulo 

 del rapporto è 1, e la (11) dà y> — 0. Si può egualmente desumerlo dalla 

 (12), notando che, sul diametro immaginario — i,i, si ha q_ 1 =q 1 . 



