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Per la prima delle ipotesi complementari, poc' anzi enunciate, la fun- 

 zione p(<p) deve tendere verso zero per <p = rt oo ; ciò implica, esistendo 

 ed essendo anzi continua la derivata, 



/%>) d 9l = 0 . 



>J — QO 



Ne segue, avuto riguardo alla espressione (7') di H, che si può, nella (8'), 

 ridurre H al primo addendo A, e ritenere accanto alla (I), l'equazione 



1 r 00 



(II) «(y) = — — A{ 9l , tp) /?'(SPi) d<p, + COst. 



La (I), immaginandovi per un momento sostituita ad a la derivata 

 normale di concerne, si può dire, le funzioni armoniche /? dispari rispetto 

 all'asse reale (tali cioè che assumono valori opposti in punti simmetrici 

 rispetto a tale asse); la (II) (immaginandovi introdotta per §> la derivata 

 normale di a) concerne invece le funzioni pari (simmetriche rispetto allo 

 stesso asse). Appare così giustificato, e potrà talora essere comodo, di desi- 

 gnare la (I) e la (lì) colle qualifiche rispettive di relazione dispari e re- 

 lazione fari. 



5. — Comportamento dei nuclei , <p) , A( 9l , tp). 

 Occupiamoci dapprima di K. 



Tt 



Designando per brevità con s la differenza — (<f> x — (f), la (9') ci dà 



Li 



(16) £(,, , 9 ) = log (j^f= log (j^J . 



donde apparisce che K dipende soltanto dall'argomento s e ne è funzione 

 pari. Esso ha manifestamente un infinito logaritmico per s = 0 (<Pi = <p) t 

 mentre si mantiene regolare per ogni altro valore reale di s; è ovunque 

 positivo, e decresce al decrescere di s in valore assoluto, annullandosi espo- 

 nenzialmente per s — ±». Ciò risulta dall'osservare che, per |s|^>0, si 

 ha dalla nota serie logaritmica 



(17) l0g ( l^^' ) 2 = 2 ' l0g(1 + e ' ÌSÌ) ~ l0g(1 - tH " ) ! = 



i /.-3|S] fi -5lt\ \ 



( ^ 3 + 5 + j 



Come si vede, i singoli termini sono positivi e sempre decrescenti al cre- 

 scere di |ò'j; la funzione tende poi asintoticamente ad annullarsi come e~ ì$ì . 



