— 295 — 



Essa rimane quindi integrabile fra — oo e + °°, ancne moltiplicata per una 

 potenza qualunque di s. 



71 . ... 



Lo stesso può dirsi, riponendo per s il suo valore — (9)1 — <p), nei ri- 

 guardi della variabile g> x . 



Ne consegue in particolare che, se ^(g>i) designa una qualsiasi funzione 

 di (fi , finita e continua al finito, e finita (0 anche dotata di singolarità 

 polare comunque elevata) per y 1 = =tco, l'integrale 



1 f 00 



— K(<jpi , g>) A(g> ì ) d(f l 



rappresenta una funzione di <p , finita e continua anche all' 00. 



Prendiamo in particolare A(<p x ) = ì. Avremo anzi tutto, adottando 



s = — (g> 1 — <p) come variabile di integrazione al posto di (p x , e tenendo 



presente la parità della K, considerata come funzione di s, 



2rc J_ t 



2 /1 -4- 6~ s \ 2 



(1 4- e~ s \ 2 

 _J si può applicare lo sviluppo (17) e integrare termine a 



termine da un e positivo, comunque piccolo, a 00 ; dopo di che, attesa l' in- 

 tegrabilità della funzione e l'uniforme convergenza della serie degli inte- 

 grali anche per s = 0 , si ha al limite 



1 r* 00 8 ( 1 1 ) 8 



designando s' 2 la somma delle inverse dei quadrati dei numeri dispari. Ora 



la somma s 2 delle inverse dei quadrati di tutti i numeri naturali vale — (*)• 



D'altra parte s z consta di s' 2 e dell'analoga somma relativa ai numeri pari, 



che vale \ s 2 . Se ne ricava 

 4 



^2 I A $2 g 1 



e di conseguenza 



(18) K(g>! , (p) dg>i = 1, 



per qualsiasi valore (reale) di g> . 



(') Cfr. per es. Cesàro, Corso di analisi algebrica. Torino, Bocca, 1894, pag. 481. 



