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Val la pena di rilevare che quest' ultima formula può essere conside- 

 rata come quel caso particolare della relazione dispari (I), che si riferisce 

 alla funzione Y(f) = f = ( P-\-i' l P : si ha infatti, per tale funzione, d=p=\ 

 sulla retta ip = 1. Si noti tuttavia che y{f) = f non è una di quelle fun- 

 zioni, per cui la formula (I) può ritenersi senz'altro trasportabile dal cer- 

 chio, in base a quanto precede. In realtà lo è, come vedremo più innanzi. 

 Intanto ho voluto, a titolo d'esempio, fare il calcolo diretto dell'integrale. 



Passiamo alla funzione A(<p x , <p), e consideriamone il modo di variare 

 con (fi in corrispondenza ad un valore (finito) generico di <p. Dalla (15) 

 apparisce che A ha una singolarità logaritmica per (fi = <p , si mantiene 

 regolare per ogni altro valore reale di (p^ , convergendo, per <p Y = zìz oo, 

 verso i limiti ± ny> rispettivamente. Questo infirma la integrabilità della A 

 (rispetto a <p x ) da — oo a -f-oo. 



Mostrerò in una prossima Nota come si possa allargare il campo di 

 validità delle equazioni integrali (I), (II). 



Matematica. — Contributo allo studio delle funzioni permu- 

 tabili. Nota del Socio Vito Volterra. 



§ 1. — Osservazioni sulla composizione. 



1. La operazione di composizione (composizione di prima specie) delle 

 due funzioni finite e continue f e <p, 



y 



X 



f[x , ì) y(S , y) d£ 



si può evidentemente considerare indipendentemente dalla permutabilità delle 

 due funzioni ( : ). Rappresentandone il resultato col simbolo f<p(x,y) o più 

 semplicemente col simbolo ftp, avremo che se f e (p non saranno permutabili 

 ftp sarà diverso da y> f. 



La operazione stessa gode in generale della proprietà associativa. Infatti 



Cf(x , ?) dì , y) tp{v ,y)dr}= P VO? > y) d v fV(* , S) sp(? 



y x Jt, - x J x 



Potremo dunque enunciare il teorema : Siano o no permutabili le fun- 

 zioni f ,<p ,ip , avremo sempre 



(f<p)xp = f(<py). 



2. Da questa proposizione discende immediatamente l'altra che enun- 

 ciammo in una precedente Nota ( 2 ), cioè che tutte le funzioni ottenute per 



i 1 ) Cfr. Questioni generali sulle equazioni integrali ed integro-differenziali. Rend. 

 Acc. dei Lincei, Seduta del 20 febbraio 1910, § 1. 

 (■) Ibid. 



