composizione da più funzioni permutabili sono permutabili fra loro e colle 

 funzioni date. 



Infatti, se f,<p,ip sono permutabili, avremo 



(ftp) f = f(<fXjj) = f(xfj(p) = (/» <p = {xpf) <p = W<P) ■ 



§ 2. — Risoluzione di equazioni integrali. 



1. Se f e (p sono funzioni derivabili, ed inoltre sono rispettivamente fun- 

 zioni di ordini m ed n ( l ) con m>n, l'equazione integrale di prima specie 



(1) f(x , y) =*jy& . ^ > y) dì 



ammette un'unica soluzione che è la soluzione dell'equazione integrale di 

 seconda specie 



(2) f n {x , y) = v(* . y) vn-i{y , y) +J x V( x > £) spn(? » y) ^ » 



ove si è scritto in generale 



Ciò si riconosce immediatamente derivando » volte l'equazione (1) e tenendo 

 conto che 



^(y , y) = 0 , se < « — 1 , SPn-i (y , y) < 0 

 (a? , a;) = 0 , se j» <. » — 1 



ed osservando inoltre che, ogni funzione che soddisfa la (1) deve verificare 

 la (2) e reciprocamente. 



2. Dimostriamo ora che se f e <p sono permutabili, tp è permutabile 

 con ambedue queste funzioni. 



Infatti la (1) si potrà scrivere 



f=y<p 



quindi 



(3) <ff=<p(H><p) = {<pH J )<P 



(4) fg> = {*P<P) <P 



Ma per ipotesi <pf = fy> , onde, se risolviamo la equazione (3) considerando 

 g>ìp come incognita, troveremo, in virtù di quanto è detto precedentemente, 

 la stessa soluzione che risolvendo la (4) in cui si consideri xp<p come inco- 



(») Nella presente Nota supporremo sempre, senza ripeterlo esplicitamente ogni volta, 

 che le funzioni che si considerano siano finite e continue e così le derivate loro di cui 

 si deve tener conto. Per la definizione di ordine di una funzione, vedi: Sulle funzioni 

 permutabili. Kend. Acc. dei Lincei, Seduta del 17 aprile 1910, § 3. 



