— 293 — 



gnita. Ne segue che 



onde (f e xp sono permutabili ed in conseguenza sono pure permutabili f e tp. 



3. È facile riconoscere che, risolvendo la (1), la soluzione xp sarà di 

 ordine m — n. Quindi, se i numeri m ed n saranno primi fra loro, colla 

 risoluzione di successive equazioni integrali potremo sempre trovare funzioni 

 di primo ordine permutabili con f e con <p . 



4. In modo perfettamente analogo a quanto si è fatto precedentemente 

 si dimostra che, se f e g> sono funzioni permutabili di ordini respettiva- 

 mente m ed n con m^> np, e se 



f=tpg>P, 



xp è permutabile con f e y> . 



§ 3. — KlCERCA DI TUTTE LE FUNZIONI PERMUTABILI 

 CON UNA FUNZIONE DI 2° ORDINE. 



1. Supponendo f(x , y) di 2° ordine e nota per tutti i valori di x,y, 

 tali che 



a <. x y -< b , 



proponiamoci di trovare tutte le funzioni g>(x , y) con essa permutabili. 



Con un procedimento analogo a quello che abbiamo tenuto in una Nota 

 precedente (*) potremo ricondurre il problema al caso in cui si abbia 



f(x, x) = 0 , fj (x , x) = — 1 , f 2 (x,x) = 1 

 f n (x , = 0 , f lt (x,x) = 0 , f 22 (x ,x) = Q, 

 avendo posto 



. ~òf( ot>,y) , ~èf(x , y) 



2. Scriviamo 



(5) • — f7(*. fV» , I) /(£ , y) #. 



•-^ £C J X 



Avremo 



— =sp(a?,y)+! fn{x,$)y{$,y)dS 



~ÒX 



* t = sp(* , y) + f V(* . *) M* , y) * 



.Va; 



(') Sopra le funzioni permutabili. Rend. Acc. dei Lincei, Seduta 17 aprile 1910, § 1. 



