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e ponendo 



Ai (a , y) - fu (x ,y) + A (» , y) — , y) . , 



/»(* , y) — f\t{x , y) + flt{x , y) = F s2 (:z , y) , 



ove le potenze denotano operazioni di composizione, sarà 



Ora 



Fi,( 



quindi, posto 



7) Fu(a; , y) 



D 2 F n (.2;,y) 

 Dy 2 



ì> 2 F 22 (.r , y) 



00 <j — 



0 , 



F 22 (X' , 



0, 





= *n(# 



>y) 



/ ^11 (# 



, «) = 



Ai (a?) 





,y) 











. y) 



1 ^22(2: 









,y) 



\ jf* 22 (a3 



,*)- 



,« 2 0) 



Dtf 2 



e, osservando che <2>(^ , y) è di ordine superiore al secondo e perciò 



\ ~òy ìx = v 



le (6) si trasformeranno facilmente, mediante integrazioni per parti, nelle 

 equazioni seguenti 



y 



(p{x,y) = —j — l x {ps) ®{x , y) — ) j* n (« , £) , y) ^ 



' X 



D 2 0> fu 



y(^,y) = 4-T + A 8 (y) ,y)—\ iM£ , y) <p(« 



dy vV» 



Sottraendo si avrà 

 ìy 2 ~~ Dx 2 



(A) - ~i + (Hy) + M*) ) , //) + 



+ Clfiuix , ?) 0(§ , y) - M$ , y) ®{x , £)] rf? = 0 . 



Dunque <P(x , y) deve soddisfare l'equazione integro-differenziale (A). 

 3. Poniamo 



g{x , y) = — (A,(y) + ^O*) ) <P(af , y) — 



— f^n^ , £) <P(£ , y) — iM£ , y) , £)] «tè 



