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tiene impiegando metodi analoghi a quelli che abbiamo adoperato in circo- 

 stanze simili in precedenti Memorie ( 1 ). 



La risoluzione della equazione integrale (A') non presenta difficoltà. La 

 funzione Q>(x , y) è di terzo ordine o di ordine superiore al terzo, quindi do- 

 vremo prendere anche \fj(y — x) di terzo ordine o di ordine superiore al terzo. 

 Si dimostra che, assumendo in tal maniera ip(y — x), la funzione <P, ottenuta 

 risolvendo l'equazione integrale (A'), soddisfa le (5) ed è dello stesso ordine di 

 tfj(y — x). Eisolvendo una delle (5) si otterranno tutte le funzioni permutabili 

 con f(x,y). In particolare prendendo xp{y — x) del terzo ordine, f(x,y) ri- 

 sulterà del primo ordine. 



Il problema di ottenere tutte le funzioni permutabili con una funzione 

 del secondo ordine è quindi risoluto. 



5. Se f(x,y) è della forma f(y — x), allora 



l u (x ,y)=z — X 2 . 2 (x , y) = X(y — x) , 



per conseguenza 



X 1 (a;) = — X ì (y) = X(0). 



Inoltre 



fi n (x,y) = [i zz (x , y) = fi(y — x) . 



Ne segue che 



g(x , y) = f\fi(y - §) 4>(x , £) - - x) 4>(f , y)] d§ , 



onde l'equazione integrale (A') è soddisfatta prendendo 



®(x , y) = ip(y — x) . 



Se ne deduce che tutte le funzioni permutabili con f(y — x), appartengono 

 al gruppo delle funzioni permutabili coli' unità. 



§ 4. — Risoluzione dell'equazione integrale 

 (I) f V <p(x,ìi) 9 {§,y) d* = y{x ,y) 



•J X 



OVE Ip È UNA FUNZIONE DATA DEL 2° ORDINE E (f È INCOGNITA. 



1. Poniamo 



x = f(x l ) , y = f(y l ) , ! = 



con sempre positivo, in modo cbe le precedenti equazioni possano in- 



vertirsi univocamente ed avere 



Xi = fi(x) , yi=fi(y) < ?i — fi{£) • 



(') Sulle funzioni permutabili. Rend. Acc. dei Lincei, Seduta 17 aprile 1910, § 2. 

 Rendiconti. 1911, Voi. XX, 1° Sem. • 40 



