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 Risolviamo ora l'equazione integrale 



(8) fi(x , y) = %{x , y) -f- ) \{x , £) X(S ,y)d§, 



J ce 



considerando xi x ^y) come funzione incognita, e formiamo la serie (la quale 

 per principi! noti i 1 ) sappiamo esser convergente) 



( T I) ,y) = 6{x ,y)-\-~dx{x ,y)-\- 



1(1- 1) l(l-i)-S-»+ 1 ) 



ove con 6X n (x,y) si intende il resultato di una operazione di composi- 

 zione. 



Si dimostra facilmente che =± <p(«r , ?/) verifica l'equazione (I). 

 Infatti, integrando due volte la (8), si ricava che 



, y) = 6^ , y) + P Z (x , f ) 0 2 (f , y) . 



X è per conseguenza permutabile con 6 e con t// (vedi § 2). Ne segue, com- 

 ponendo la serie (II) con se stessa, 



<p*(x,y) = d* + 6* x = y(x,y). 



§ 5. — Osservazioni. 



1. Si riconosce facilmente ctie, se (pi(x , y) e (fi{% , y) sono due funzioni 

 permutabili tali che 



( y>i{x , §) (p^g , y) d$ === ip(x , y) , 



•J oc 



f g>o(x , £) 0> 2 (£ ,y)dZ = tp(x , y) , 



essendo ^ una funzione di 2° ordine, deve aversi o 



(pi(x , y) = g> 2 (z , y) 



oppure 



g>i(z ,y) = — cp 2 {x , y) 



(') Vedi la Nota citata precedentemente: Questioni generali sulle equazioni inte- 

 grali ed integro-differenziali § 3. 



