— 318 — 



La w(z) dev'essere naturalmente regolare in A senza mai annullatisi 

 £cfr. n. 1] e deve mantenersi finita anche all' infinito. Il suo comportamento 

 al contorno si caratterizza come segue. 



Pongasi 



(8) w = e-™ , 



convenendo che per 2 = 00 [|w| = l] sia <» = 0; rimane così definita una 

 funzione a>(z), regolare anch'essa entro A. 

 Dalla (8), posto 



(9) w = # -f- h , e t reali), 

 si deducono le 



l |^!=|yW 2 +y 2 | = V = e T , 



(10) uAriV 



f — y = e ■ 



La parte reale &, che, come apparisce da quest'ultima, definisce la dire- 

 zione delle linee di flusso, va contata fra — n e n , positivamente nel verso 

 x - m ^y^ partendo dalla direzione positiva dell'asse x, negativamente nel 

 verso opposto. 



Dopo ciò, per le precedenti tenuto conto della (2), si ha senz'altro 



f x == 0 , sopra X , l" ,X X ,X 2 ; 



(11) . lini & = 3 -f- a , avvicinandosi a 0 sopra oji , 

 l lim # = ó — a, avvicinandosi a 0 sopra vs t , 



la & dovendo naturalmente seguire anche negli altri punti di w x e cr 2 l'an- 

 damento del profilo rigido. 



Lasciando per ora indeterminata la forma del profilo ci basterà ritenere 



che la funzione (0(2) = &(x , y) -f- h{x , y) dev'essere regolare entro A ; 

 sul contorno la sua parte reale ed il coefficiente dell'immaginario devono 

 soddisfare alle (11); di più che sia w = 0 per z — 00. 



4. — Cambiamenti di variabile. 



È opportuno eseguire dei cambiamenti di variabile che permettano di 

 sostituire al campo A un semicerchio. Considerando il piano complesso rap- 

 presentativo della variabile f= <p + itp, si constata, in modo analogo a 

 quello che ho esposto in una recente Nota (*), che la f = f(z) permette di 

 rappresentare in modo conforme il campo A del piano z sopra una striscia 



(*) Cfr. Cisotti, Sopra la derivazione dei canali. Zeitschr. ftir Math. und Physik, 

 1911, B. 59, Hel't 2, pp. 137-151. 



