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 ciascuna delle due funzioni simmetriche 



f b K(x$) K{y$) fé \ \(tx) K(£y) dì 



J a J a 



per gli stessi valori di x ed y risulta della forma (I) allora ed allora sol- 

 tanto che lo sia la funzione assegnata. 



Sia dunque K(xy) una funzione simmetrica di x ed y finita e continua 

 nel campo S a due dimensioni, definito dalle relazioni 



a <. x <. b 

 a < y <b . 



Poniamo, secondo il solito, 

 K,(xy) = Pk(^) K(?y) dì K,(a?y) = f & K 2 (cc?) K(ìy) d£ ... 



K r (#y) = K r _,(^) K(&) rf? ... , 



ed anche 



Cr 



K r {ìì) dì. 



(r— 1, 2,...) 



Con queste denominazioni avremo che: 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè la fusione simmetrica 

 K{xy) in tutto il campo S risulti della forma (I), è che si possa trovare 

 un numero n <. w tale che risultino contemporaneamente soddisfatte le 

 tre relazioni: 



Ci C3 ... C n +i 



(a) 



0») 



£ 2 <?3 

 C 3 <?4 



Ci ... Cn 



+ 1 t -)1+2 



Cn-t-2 



Cn+2 C n +z ••• Czn-t-t 



1-2 



(y) 



m Ci 

 Ci c t 



Cn 



Cn C n -t-\ ... Cìn 



= 0 o). 



( l ) Si noti che nessuna delle tre condizioni (a) {$) (y) è una conseguenza delle altre 

 due. Ad es., ponendo 



~K{xy) — sen x sen ?/ + c ° s x °o s 2/ + ~ sen 2# sen 2y 



ed a = 0,b — 2n,m = 

 lo sia la Q9). 



2, per w = 1 risultano verificate le condizioni («) (y) senza che 



