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Per dimostrare che le condizioni enunciate sono necessarie, cominciamo 

 dall'osservare che se la funzione simmetrica K(xy) in tutto il quadrato S 

 sarà della forma (I), il nucleo dell'equazione integrale 



(1) f(x) = g>{x) — l£K{xS)9{$)tè 



sarà simmetrico ed elementare: e se indichiamo con 



t*i ;i (a) Mi, 2 (aO - »i,»iO») ; - ; «*.!(*) M *.»fc) - ^"mC*) ! - ; 



Un,i{%) u n , 2 {x) ... w„,»,„(a;) 

 un suo sistema perfetto ortogonale normalizzato — intendendo che le funzioni 



Ui,i{x) Ui, 2 {x) ... Ui, mi (x) (i = 1 , 2 , ... n) 



appartengano ad uno stesso valore eccezionale h (« = 1,2, ... n) — avremo 

 in tutto il campo S 



K(xy) = ~ XrU l<r (x) U hr (y) H H 77 Zr M»0 H ^ 



Ai j il 



ì 



Di qui segue immediatamente che sarà pure in tutto il campo S 

 K*(xy) = ~%-u ur {x)uxAy)-\ V 4 L-M») My) H h 



n\ j /il 



J mn 



+ Ti" Zr *W0») 



K w (»y) = 4 £• »i,r(y) H H 4 > r M*) H H 



À| 1 ti 



+ Tra Z*" U n,r{x) U n ,r{y) 

 K n 1 



( Xy ) = -Ij |U 1)r (#) » Iir (y) + - + x^i Z^,r(») My) H h 



k-n-t-l 



A re l 



