funzioni K 2 , K 3 ecc., come nucleo iterato di un nucleo simmetrico, essere 

 identicamente nulla, potremo allora concludere che sarà 



rb rb 



(4 



(B) I f f Kt{xy) K*(acy) (te <ty 

 (r) I f f Ki(asy) K H {xy) dx dy 



J a >- a 



(i, A=l, 2,... ») 

 (i , A = 1 , 2 , ... » + 1) 

 (i, A — O, 1,2,...») 



= 0 



D'altra parte si vede subito che si ha 



f b f b Ki(xy) K H {xy) dx dy = f K; +ft (o:cc) «te (i , A = 0 , 1 , ...) ; 



J a J a J a 



cioè, posto per un momento c 0 = m , 



f " f Kf(a^) K»(asy) &s dy = c i+?£ . (t , A = 0 , 1 , ...) 



Servendosi della forinola ora scritta, si vede immediatamente che le 

 condizioni (A), (B), (r) coincidono rispettivamente colle (a), (£), (y). Resta 

 così dimostrato che le condizioni enunciate sono necessarie. 



Per dimostrare che tali condizioni sono anche sufficienti, cominceremo 

 dall'osservare che se è 



Ci C% ... Cn-*-2 



C 3 d 



Cn+t 



C n +Ì C n +3 •'•Cin+1 



o, 



necessariamente le funzioni 



K,(xy) , K t (xy) , ... K n (xy) , K n ^{xy) , 



nessuna delle quali, come abbiamo già osservato, può essere identicamente 

 nulla, risulteranno legate in tutto il campo S da una relazione lineare 



a n K, + fln-i K, H h «i K « + a » K «+> = 0 • 



Di qui segue subito che qualunque sia il numero intero e positivo r 

 avremo in tutto il campo S 



a n K r + a n -\ K r +i + — + a x K n+r -i + a a K M+r • 0 , 

 ed anche, indicando con 1 un parametro arbitrario, 



a n X K, + \ «„-, l r+ì K r+1 -\ h ^7 a, A"-'- 1 K M+r _ 1 + ^ a. 1 



"+"K M+r = 0. 



