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Avremo dunque, per gli stessi valori di x ed y , 

 On L V Ki + \ fl«-, | |>< K,— AK, | + - + 



+ | IS^ K > - lK i ^ n - 1 K n _ 1 1 + 



+" Jr «• ! |> K * - AK * - • — K » j = 0 ' 



Ne segue che se indichiamo, secondo il solito, con T(xyX) il nucleo 

 risolvente dell'equazione integrale (1), sarà, per una ben nota formola di 

 Hilbert, 



a n r(xyX) + \ a„_i { r(i»yA) - IK, ( + •■ ■ + 



+ | i>yA) -A K, ^ 1 K n _, | + 



+ a 0 ) r{xyX) — ÀKi A n K„[ =0: 



cioè 



AK,(g 0 + Agi -j h l n - l a n -i) + - + ^'^(ao + a^) + a 0 ^K„ 



W) ~~ «o + ^,H \-X n a n 



Kesta così posto in evidenza che i valori di X (valori eccezionali) pei 

 quali r(xyX) diviene infinito, non possono essere più di n. D'altra parte, se 

 è soddisfatta la condizione (a), il loro numero non può essere inferiore ad n , 

 perchè, in tal caso, le funzioni 



Ky{xy) , K t (xy) , ... , K n (xy) 



nel campo S risulterebbero legate linearmente, e non potrebbe essere soddis- 

 fatta la condizione in questione. 



Tal numero sarà dunque precisamente = n . D'altra parte, da quanto 

 precedentemente abbiamo visto, risulta che se il numero dei valori eccezio- 

 nali del nucleo simmetrico elementare K(xy) dell'equazione integrale (1) 

 è ==n, il numero X delle sue funzioni eccezionali linearmente indipendenti 

 risulterà determinato dall'equazione di 1° grado: 



X Ci ... c n 



C\ C% ... C ll+ x 



Se dunque la funzione K(zy), oltre che alle condizioni (a) (/?), soddis- 

 farà anche alla condizione (y), certamente sarà X = m ed essa sarà rap- 

 presentabile in tutto il campo S nella forma (I). Resta così dimostrato che 

 le condizioni enunciate sono anche sufficienti. 



