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ed è unico l'integrale della (1) assoggettato a prendere su y valori pre- 

 scritti ( ) ). 



Domandiamo ora, se è M > 0, per quali contorni y in C si può, con- 

 siderando soltanto la determinabilità dell'integrale, asserire la medesima 

 cosa? o, il che fa lo stesso, per qvali contorni y in C non esiste che la 

 soluzione u = 0 nulla su di esso? 



La questione, che ci proponiamo, ammette infinite soluzioni. Una solu- 

 zione che subito si presenta si ha affermando: 



Se p designa quel numero positivo (certamente esistente e ben deter- 

 minato) per il quale è in C 



6{x,y)>p , ]d{x,y) — p\ \t(x , y)—p [ — t\x , y) > 0, 

 per ogni contorno y intieramente contenuto in una striscia di C di lar- 

 ghezza minore di n y ^ , una soluzione della (1) nulla su y è identica- 

 mente nulla ( 2 ). 



Difatti, ammessa l'esistenza di una soluzione della (1) nulla su un 

 contorno y di tal fatta e non identicamente nulla, dal confronto della (1) 

 coli' equazione 



si deduce, secondo il teorema al n. 2 di (N), che una qualunque soluzione 

 della (2) si annulla nell'interno di una striscia di larghezza eguale a n y ^ . 



(*) Nella nota 3 di (N) ho infatti osservato come, nel caso M <- 0, non possa esi- 

 stere che un solo integrale della (1) assoggettato a prendere su un contorno y in C va- 

 lori assegnati, ora l'equazione (1), supposta una certa derivabilità nei coefficienti, appar- 

 tiene a quella classe di equazioni nella quale, sotto certe ipotesi pel contorno su cui 

 sono dati i valori dell'integrale, i teoremi di esistenza e di unicità valgono sempre 

 insieme. Cfr. E. E. Levi, 1 problemi dei valori al contorno per le equazioni lineari 

 totalmente ellittiche alle derivate parziali. Memorie della Società italiana delle Scienze, 

 serie 3 a , tomo XVI. 



( 3 ) Cfr. Picard, Traiti d'Analyse, t. II, pag. 25 e seg. Ivi è stabilito, per via affatto 

 diversa, un risultato analogo a quello ora enunciato nel testo, ma di diverso significato. 

 Si potrà paragonare il nostro risultato con quello di Picard nel solo caso che sia 0 = r, 



t = 0 ed esistano le derivate i — - , Vi • Fatte 1 ueste ip° tesi n numero da noi indicato 



ùx* òy 



con — coinciderà con quello dal Picard indicato con m", nel solo caso che le funzioni 

 P 



A 1 / DMogO DMogfl v 



J ° 0 ~2 \ + ^ 2 / ' 



abbiano in C lo stesso massimo. Cfr. anche Lichtenstein, Zur Theorie der gewòhnlichen 

 und der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Rendiconti del Circolo Ma- 

 tematico di Palermo, t. XXVIII, pag. 302 e seg. Quivi trovansi altre utili note bibliografiche. 



