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Si vede che, per 0 < % < n , la funzione di cui si deve prendere il loga- 

 ritmo, non ha nè zeri, nè infiniti, qualunque sia il valore reale di s. Con- 

 siderazioni analoghe a quelle del n. 5 mostrano poi che la K si annulla 

 esponenzialmente per s = oo. 



Ne consegue che, colla determinazione iniziale 



(21) K('5Pi ,/ — ?') = K(spi , <p) per xp = 1 e g> > g>, , 



da noi adottata, la (19) definisce una funzione uniforme della variabile 

 complessa f, regolare entro la striscia S, per qualsiasi valore reale del 

 parametro <fi, e integrabile, rispetto a<p x , da — oo a -j- 00 - Questa fun- 

 zione è puramente immaginaria sull'asse reale xp = 0. Infatti la (19), per 



f=(p Q) la (20) per X = ^ , mostrano che la frazione sotto il segno lo- 

 garitmo ha modulo 1; la parte reale del logaritmo stesso è quindi nulla, 

 indipendentemente dalla determinazione con cui lo si deve prendere. Per 

 essere ~K{(p l , f—i) puramente immaginaria sull'asse reale t/> = 0, saranno 

 coniugati i valori di iK in punti simmetrici rispetto allo stesso asse: in 

 particolare, i valori limiti di iK, e quindi di K, su xp = — 1 potranno 

 essere desunti per riflessione da quelli che gli competono per xp — 1. 



Siamo così ridotti, per esaurire la nostra discussione, a renderci conto 

 del comportamento di K sulla rimanente parte (<p < yi) della retta tp==l. 



All'uopo notiamo che (f essendo l'affìssa di un punto generico di S 

 rispetto agli assi coordinati <j> , xp , cui ci siamo finora riferiti) 



f* = f-(<Pi + i) 



può interpretarsi come affissa (dello stesso punto) rispetto ad assi paralleli 

 ai primitivi coll'origine nel punto (f y -f- i (della retta limite xp — \). Ri- 

 spetto a tale sistema i punti di S cadono tutti nel terzo e quarto quadrante : 

 le anomalie loro, dedotte per continuità da una generica, potranno ritenersi 

 comprese fra 0 e — re, ove si convenga di attribuire il valore zero dell'ano- 

 malia della semiretta xp = 1 , y > 9> t Questa ovvia osservazione si tras- 

 porta alla funzione 



log/* = log)r-(9h + *-)|, 



in cui il coefficiente di i è precisamente l'anomalia &* del punto conside- 

 rato f* , o, se si vuole, f, rispetto al sistema ausiliario. Adottata la deter- 

 minazione reale log (<p — (fi) , per f* reale e positivo {xp = 1 , (p > y,) , 

 si avrà, per f* reale negativo (xp = 1 , g> < <?i) , = — n , ossia 



(22) log f* = log (9>x — g>) — in 



[si intende, colla determinazione aritmetica di log(gh — g>)] . 



